转换法(条件,非条件不等式).docVIP

PAGE  PAGE 7 不等式问题的处理策略与技巧（1）转化法 对于比较复杂的不等式问题，不仅要用到重要的定理和性质，而且需要多种方法和技巧的灵活运用。 一、将非条件不等式转化为条件不等式 1.（2003年美国奥林匹克竞赛试题第5题） 设 证明： 【证法一】 分析：不妨设，则原不等式变形为： 由此联想到构造函数 故 【点评】 这里“不妨设“利用了该不等式的齐次性。因为假设，其中是任意正实数，则 。令，即，则 于是原问题可转化为： 已知， 求证： 一般地，具有齐次性的不等式，通常可以增加条件等使得原不等式变得简单； 【证法二】【利用切线不等式】 证明: 令 ，，，；则 将中分式上下同除以, 化简得,易得在点的切线为. 下证 ，,化简即证 . 令,,易得在单调递减，在单调递增； 得证 得证 当且仅当，即时取等 总结: 对于形如“已知，且??求证”的不等式问题均可以采用构造后累加． 2．（日本奥林匹克数学竞赛试题）【切线不等式】 已知 ，求证： 　【证明】令，, 易得且 （先猜想 原不等式分式中上下同除以得 , 即证 , 易得在点的切线为. 下证 （）x、y. 化简即证明: 令 （）. 得证 ..得证，当且仅当，即时取等 3． （2005年塞尔维亚数学奥林匹克竞赛题） 已知，求证： 【证明】 令 ，， ，；则. 易得 在点的切线为 下证，，令； ，； 令，得 在上单调递增，由,得当时，单调递增； 当时，单调递减；得证 . 当且仅当，即时取等 定理（推广）: 若，且 则（证明略，方法同上） （二）、化条件不等式为非条件不等式 对非条件不等式，通常可以通过代入法转化为条件不等式，条件不等式也可以通过一些特殊的代换转化为非条件不等式，为进一步解题带来方便 设 证明： 【分析】令（） 于是只需证明： (这里可有舒尔不等式证明) 再令 则 故（1）式等价于证明 中至多有一个为负数。 若仅有一个负数，则上式显然成立；若全为正数，则有均值不等式易证； 2.设 证明： 【分析】讲条件代入，转化为 由易证得上式； 3、设 QUOTE a,b,c0 且 ,试证:. 【证法一】应用柯西不等式推论 由,得 , 从而原不等式等价于 , . 【证法二】 （平均值不等式的推论） 由,有 , 得 . 同理 , , 三式相加得 三、将条件不等式转化为新的条件不等式 1、已知 ,且 求证: . 【证法一】由已知得 ，令, 则 , 由 ,, , 得, 从而 , 得 . 【证法二】切线不等式 2、设为正数，且满足 证明：对所有的,都有 【分析】作代换，则 且原不等式等价于 这里从局部入手分析，由排序不等式得 故 将上面式子轮换，相加后即得原不等式；