轮复习专题--恒成立存在性问题.docVIP

PAGE  PAGE 7 2012届高考冲刺专题3--恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：恒成立； 2、能成立问题的转化：能成立； 3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M 另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值. 4、设函数、，对任意的，存在，使得，则 5、设函数、，对任意的，存在，使得，则 6、设函数、，存在，存在，使得，则 7、设函数、，存在，存在，使得，则 8、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方； 9、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方； 例题讲解： 题型一、常见方法 1、已知函数，，其中，． 1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； 2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； 【分析：】 1）思路??等价转化为函数恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可． 简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是． 2、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围． 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决． 方法1：化归最值，； 方法2：变量分离，或； 方法3：变更主元，， 简解：方法1:对求导，， 由此可知，在上的最大值为与中的较大者． ，对于任意，得的取值范围是． 3、已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 解析：对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴ 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数) 1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。 解：不等式即,设，则在[-2,2]上恒大于0，故有：或 2、已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若上恒成立，求的取值范围； O (Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)知：，，在上单调递减，在上恒成立，，只需，（其中）恒成立，由上述②结论：可令,则，，而恒成立，。 题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来） 1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 解析: 当时，由得.∴. 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）） 1、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 解析：对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知，即。 2、已知函数，在恒有，求实数的取值范围。 分析：为了使在恒成立，构造一个新函数，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。 解：令，则对恒成立，而是开口向上的抛物线。 ①当图象与x轴无交点满足，即，解得。 ②当图象与x轴有交点，且在时，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： 解得，故由①②知。 小结：若二次函数大于0恒成立，则有，同理，若二次函数小于0恒成立，则有。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上； 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的. 1、存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为______。 解：设，由有解，， 又，∴，解得。 2、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围 解： 因为函数存在单调递减区间，所以 有解.即能成立, 设. 由得, .于是,, 由题设,所以a的取值范围是 小结： 恒成立与有解的区别： 恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 ①不等式对时恒成立，。即的上界小于或等于； ②不等式对时有解，。 或的下界小于或等于； ③不等式对时恒成立，。即的下界大于或等于； ④不等式对时有解，.。 或的上界大于或等于； 课后作业： 1、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（ ） （A） （B）　 （C） （D） 答案：B。解析：由方程可得，对于任意的，可得，依题意得。 2、若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是___。 答案：。解析：由不等式可得，由线性规划可得。 3、不等式有解，则的取值范围是 解