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软件《高等数学下》(A)
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郑州大学软件学院《高等数学》（二）课程试题
2008-2009学年第二学期（A卷）
（适用专业： 考试时间：）
题号一二三四五六七总分分数
合分人： 复查人：
一、计算下列各题：（每题6分，共 30分）分数评卷人1 .设求 .
解：
故
2 .设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足
解：对方程两边求全微分：
，即
，
所以
故
3 .求椭球面平行于平面 处的切平面方程.
解：令 则
已知平面的法向量为故
由已知平面与所求切平面平行，得，
即 代入椭球面方程，得：
，解得： ，则
所以，切点为：
所求切平面方程为：
4．判断级数的敛、散性.
解：（一）记
因为 且发散，
故由比较审敛法知发散.
(二)另一方面，由于级数是交错级数，且满足莱布尼兹定理的条件，所以该级数收敛，因此原级数条件收敛.
5.将函数展开成的幂级数.
解：
，
所以
二、计算下列积分：（每小题10分，共50分）分数评卷人1 计算三重积分, 其中为旋转抛物面与平面
、所围成的空间区域.
解：
2 计算其中为圆周, 直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.
解： （如图）
，其中：
，
所以，
3 计算, 其中为在抛物线上由点到点的一段弧
解：设，则由格林公式：
又
所以
4. 计算, 为圆锥面上介于平面之间的部分.
解：将投影在面上，其投影区域为：
由圆锥面，得
故
5.计算其中是球面的外侧在的部分.
解：把分割为两个部分.
其中，（上侧）；
（下侧）.
由公式，可知：
，
所以，
三、应用与证明题（每小题10分，共20分）分数评卷人1.求函数的极值.
解：（一）解方程组
解之，得四个驻点：
（二）
1．因为在点处，又所以在处有极小值
2．因为在点处，又
所以非极值；
3．因为在点处，
所以非极值；
4．因为在点处，又所以在处有极大
值
2. 证明函数在原点处偏导数存在，但在原点处不可微.
解：（一）因为，
所以，
同理，
（二）考察极限
因为与有关，
所以在原点处不可微.
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