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边角不等关系的证明思路
边角不等关系的证明思路
孙殿双
??????????????????? 内蒙古根河电业局学校 孙殿双
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在三角形中,关于边角不等关系,有如下性质:
⒈三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(九年义务教育教材《几何》第二册P14推论3)
⒉三角形两边之和大于第三边.
推论:三角形两边的差小于第三边.(九年义务教育教材《几何》第二册P8)
⒊在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角大.(九年义务教育教材《几何》第二册P81,读一读)
在证明边角不等的问题时,我们习惯上把条件集中在一个三角形中,再运用如上性质来完成解答过程,一般来说有如下几种方法。
一、构造等腰三角形转移条件
例⒈△ABC中,若AC=2AB,则下列结论正确的是:()
(A)∠B=2∠C (B)∠B<2∠C (C)∠B>2∠C (D)由已知无法确定
三角形边角不等关系
?
例1 已知:如图3-158,△ABC中,AD为中线.(1)求证:AB+AC>2AD;(2)设AB>AC.求证:∠BAD<∠CAD.
分析 本例需要添加辅助线.§7中例2的点评中提出的添加辅助线的方法对本例仍然适用.
证明 如图3-158(a),延长AD到P,使DP=AD,连结线段BP.由于BD=CD,DP=DA,∠BDP=∠CDA,所以△BDP≌△CDA,从而PB=AC,∠BPD=∠CAD.
(1)在△ABC中,
AB+PB>AP,
从而????????????????????????????????????? AB+AC>2AD.
(2)在△ABC中,由于AB>AC=PB,所以
∠BAD<∠BPD,
从而???????????????????????????????????? ∠BAD<∠CAD.
点评 本例也可用以下的方法证明:如图3-158(b),取AB的中点M,连结线段DM.利用△ADM中的边角不等关系证明(1)和(2).
这个证明用到了第四章的三角形中位线定理.从本例及这以前举出的一些例题可以看到:熟练掌握定理,对问题勤于思考,是提高解题能力的不二法门.
例2 已知:如图3-159,在△ABC中,AB=AC,D是这三角形内部一点,并且∠ADB>∠ADC.求证:DB<DC.
分析 如图3-159,DB,DC是△BCD的两边,如果证明了∠BCD<∠CBD问题就解决了.但已知条件AB=AC以及∠ADB>∠ADC,与∠BCD,∠CBD没有什么比较明显的联系.为发现它们之间的联系,我们把含有∠ADB的△ABD??转到△ACD′的位置,即作△ACD′≌△ABD(由于AB=AC,所以以上的办法是可能的).这时AD=AD′,∠AD′B>∠ADC,D′C=DB,问题转化为证明D′C<DC.但这时问题已经十分明显了.
证明 如图3-159,作△ACD′≌△ABD,连结线段DD′,由于AD′=AD,所以∠ADD′=∠AD′D.而∠AD′C=∠ADB>∠ADC,所以∠CDD′<∠CD′D,所以D′C<DC,即 DB<DC.
点评 在证明一个命题(或解计算题,或解作图题)时,如果找不到已知与求证之间明显联系,可把图形的某一部分变换到某一适当位置,以探索已知与求证之间的联系.变换图形位置常用的方法有平移、旋转、翻折(翻转),或其中某二者的结合.
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