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边角不等关系的证明思路 孙殿双 　　 ??????????????????? 内蒙古根河电业局学校 孙殿双 ? 在三角形中，关于边角不等关系，有如下性质： ⒈三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(九年义务教育教材《几何》第二册P14推论3) ⒉三角形两边之和大于第三边. 推论：三角形两边的差小于第三边.(九年义务教育教材《几何》第二册P8) ⒊在一个三角形中，如果两边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角大.(九年义务教育教材《几何》第二册P81,读一读) 在证明边角不等的问题时，我们习惯上把条件集中在一个三角形中，再运用如上性质来完成解答过程，一般来说有如下几种方法。 一、构造等腰三角形转移条件 例⒈△ABC中，若AC=2AB，则下列结论正确的是：（） (A)∠B=2∠C (B)∠B＜2∠C (C)∠B＞2∠C (D)由已知无法确定 三角形边角不等关系 ? 例1 已知：如图3-158，△ABC中，AD为中线．（1）求证：AB＋AC＞2AD；（2）设AB＞AC．求证：∠BAD＜∠CAD． 分析 本例需要添加辅助线．§7中例2的点评中提出的添加辅助线的方法对本例仍然适用． 证明 如图3-158（a），延长AD到P，使DP=AD，连结线段BP．由于BD=CD，DP=DA，∠BDP=∠CDA，所以△BDP≌△CDA，从而PB=AC，∠BPD=∠CAD． （1）在△ABC中， AB＋PB＞AP， 从而????????????????????????????????????? AB＋AC＞2AD． （2）在△ABC中，由于AB＞AC=PB，所以 ∠BAD＜∠BPD， 从而???????????????????????????????????? ∠BAD＜∠CAD． 点评 本例也可用以下的方法证明：如图3-158（b），取AB的中点M，连结线段DM．利用△ADM中的边角不等关系证明（1）和（2）． 这个证明用到了第四章的三角形中位线定理．从本例及这以前举出的一些例题可以看到：熟练掌握定理，对问题勤于思考，是提高解题能力的不二法门． 例2 已知：如图3-159，在△ABC中，AB=AC，D是这三角形内部一点，并且∠ADB＞∠ADC．求证：DB＜DC． 分析 如图3-159，DB，DC是△BCD的两边，如果证明了∠BCD＜∠CBD问题就解决了．但已知条件AB=AC以及∠ADB＞∠ADC，与∠BCD，∠CBD没有什么比较明显的联系．为发现它们之间的联系，我们把含有∠ADB的△ABD??转到△ACD′的位置，即作△ACD′≌△ABD（由于AB=AC，所以以上的办法是可能的）．这时AD=AD′，∠AD′B＞∠ADC，D′C=DB，问题转化为证明D′C＜DC．但这时问题已经十分明显了． 证明 如图3-159，作△ACD′≌△ABD，连结线段DD′，由于AD′=AD，所以∠ADD′=∠AD′D．而∠AD′C=∠ADB＞∠ADC，所以∠CDD′＜∠CD′D，所以D′C＜DC，即 DB＜DC． 点评 在证明一个命题（或解计算题，或解作图题）时，如果找不到已知与求证之间明显联系，可把图形的某一部分变换到某一适当位置，以探索已知与求证之间的联系．变换图形位置常用的方法有平移、旋转、翻折（翻转），或其中某二者的结合．