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PAGE  PAGE 6 挑战数列解答题（理科） 2010级数学备课组 一、数列中的恒成立问题 1.已知，设，试确定实数的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式恒成立。 2.已知数列的前项和满足，又。 （1）求的值； （2）求； （3）若不等式对一切都成立，求实数的取值范围。 3.设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点个数为。 （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，且。若对于一切的正整数，总有，求实数的取值范围。 二、数列中的不等式问题 1.设数列满足： （1）当时，求并由此猜测的一个通项公式； （2）当时，证明对所有的有： ① ② 2.已知数列满足： （1）求数列的通项； （2）设，证明：对任意。 3.在数列中，，的前项和为，当时，向量 （1）求数列的通项公式，并用和表示； （2）若，求证： 4. 已知数列满足： （1）求数列的通项； （2）设，数列的前项和为，求证：对任意的。 5.已知集合中的元素都为正整数，且，对任意的。 （1）求证： （2）求证： （3）对于，试写出一个满足条件的集合。 6. 在数列中，。 （1）求证：数列是等差数列； （2）求证：在数列中对任意的； （3）设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项，若不存在，请说明理由。 7. 数列的首项，前项和与之间满足。 （1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式； （3）设存在正数对任意的正整数都成立，求的最大值。 三、数列中的裂项问题 1.已知数列中，，其前项和为，且当。 （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，记数列前项和为，试求。 2.在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和。 3.已知数列满足条件： （1）求数列的通项公式； （2）令，设，证明： 4.已知数列中，，其前项和满足：，令。 （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和。 四、数列与函数交汇题 1．已知函数。 （1）求函数的零点个数并说明理由； （2）设数列满足，证明：存在常数，使得对于任意的正整数，都有。 2.已知的图像在点处的切线与直线平行。 （1）求满足的关系式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：。 3.设函数 （1）当时，若对任意的恒有，求的取值范围； （2）证明：。 4.设为常数，且，函数满足，有且仅有一个值使成立。 （1）求的值； （2）若数列满足：，证明数列为等差数列。 （3）令，数列的前项和为，证明：。 5.已知函数。 （1）若函数在区间上递增，求的取值范围； （2）求函数在区间上的最小值； （3）求证：对于任意的正整数，且时，都有成立。 6.已知。证明： 对于任意的正整数，不等式都成立。 7.设数列，满足：。 （1）求数列的通项公式； （2）对一切正整数，证明：成立； （3）记数列的前项和分别为，证明：。 8.已知函数。 （1）求的单调区间； （2）证明：对任意的正整数，，不等式恒成立。