量子力学曾谨言习题解答九.docVIP

第九章：定态微扰论 [1]设非简谐振子的哈密顿量为： （为常数） 取 ，，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。 （解）一级能量本征值修正量：本题是一维、无简并的，按本章§9.1公式，从§3.3知道一维谐振子波函数是： ， 但 （1） （2） 但根据§3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而必定是个偶函数。（2）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有： 一级波函数修正值：据§9.1公式[12b] （3） 微扰矩阵元要涉及厄密多项式相乘积的积分，为此利用关于的一个递推公式（，问题2）： （4） 将此式遍乘，再重复使用（4） 再将此式遍乘，重复使用（4）式 = （6） 利用公式（6）来计算微扰矩阵元： 将（6）式中的换成代入前一式，并注意是正交归一化的，即 是固定指标，故只有当取下述四值时不为零，即 但要注意，当取用一个值时，就不能再取其他值，所以取定后的非零值是（7）式中某个的系数。（3）的求和是式只有四项。 有： ， ， ， （9） 将（7）和（9）所决定的诸值代入（3） 二能级量本征值修正量：按二级近似式是 （11） 其中，二级修正量是个数量的和，它也用（7）式来计算，并也包括四个项： [2]一维无限深势阱（）中的粒子受到微扰： 的作用，求基态能量的一级修正。 图345 （解）本题是一维无简并问题，无微扰时的能量本征函数 （1） 能量本征值 （2） 对基态，计算能量的一级修正量时，因微扰是分段连续的，因而要求两个积分式的和 利用定积分公式： （4） 代入（3）；得 附带地指出：对于本题的粒子的激发态能量的一级修正量计算，可以用同样步骤得到，第K个激发态的一级修正： # [3]设有一个三维转子处于基态，转动惯量I，它沿转轴方向有一个电偶极矩现加上一个外电场，可以视作微扰，试用微扰论求能量二级修正值。 图347 （解）三维转子可看作哑铃状或棒状体，回绕其中点0作三维的转动，位置由球极座标决定。由于点（棒一端）的矢径是常量，哈密顿符是： 式中是转子轴长度之半，I是转动惯量（关于与棒身垂直的转轴），角动量平方算符，按，公式（29） （2） 因此无微扰时，势能为零，而能量本征方程式是： （3） 它的解是球谐函数： 能量本征值是： （4） 假定转子是电偶极子，电矩是D，则D=（电荷），同时加上沿方向的电场后，转子获得附加的偶矩电势能，作为微扰看待： （5） 本题限于基态能量，但最低的能级相当于，当不存在微扰时，基态能量本征值 二能量修正值：可以利用球谐函数的递推公式 在计算时可在上式中令得： （9） 计算时，可在（8）式中，令得： （11） （球谐函数正交性） 同理可证，等都是零。 零阶能量 代入（7）式（仅有一项）： 本题中的球谐函数的递推公式（8）可参看课本附录四（）公式（37）、（38）等。 # [4]平面内的转子，除了受到沿方向的均匀电场的作用外，还受到沿轴方向的均匀磁场的作用，试用微扰理论计算转子的能量。 （解）平面转子可看作绕一固定点0转动的棒，可用棒与0轴间夹角定位，哈氏算符： （1） 无微扰能量本征函数： （2） 图350 转子是一偶极子，它具有电偶极矩D，因而在平行于0轴的电场作用下具有偶极势能： 转子又在平行于轴的匀强磁场中运动，由于电荷的运动相当于园电流，而电流在磁场中具有磁势能，磁势能由磁距决定，磁距又与角动量成正比： 磁距 附加磁势能： （4） 微扰算符