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PAGE  PAGE 6 附录3 变分原理 泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值。 对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。因此，应变能就是泛函。 在数学分析中，讨论函数和函数的极值。变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。 下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。 §1 泛函和泛函的极值 首先引入泛函的概念。泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值 作为变分法的简单例题。考察 x，y 平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线 y（x）中的最短曲线。 （补充图） 设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。于是，这一曲线的长度为 连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。 根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。 求解最短程线问题，即在满足边界条件 在x=x1时，y（x1）=y1，y（x1）= y1 在x=x2时，y（x2）=y2，y（x1）= y2 的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。因此y（x）称为容许函数。 上述问题应用变分法可以概括为求解泛函 在边界条件y(x1)=y1，y(x2)=y2的极小值问题。 §2 泛函极值的必要条件-欧拉方程 假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数 引起泛函L [ ]的改变。设 其中??为小参数，而??(x)为边界值为零的任意函数。当x固定时，容许函数与y（x）的差???y 称为泛函自变函数的变分，即 类似地，容许函数 的斜率与y（x）斜率的差??y，称为泛函自变函数斜率的变分，即 应该注意???y 与函数y（x）的微分dy之间的差别，dy是自变量x的改变量dx引起的y（x）的无穷小增量。而变分??y 是 y（x）的任意一个微小的改变量。 设泛函增量 按泰勒级数展开，则 设泛函的增量由泛函的变分表示，有 分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为??的一次，二次或者k次齐次式。 根据假设，y（x）是使得泛函J[y]为最小的特定函数。从而泛函增量??J 大于零。注意到当参数??减小时，函数 趋近于y（x），泛函增量??J 趋近于零。 首先讨论泛函J[y]为极值的条件，考虑泛函增量各项相对量阶的大小。由于一阶变分??y 与小参数??成正比，而二阶变分??2y 与小参数?2 成正比，一般的讲，而k阶变分??ky与小参数?k 成正比。因此，当??充分小时，二阶以上各项变分与一阶变分??J 比较，可以忽略不计。所以，泛函增量??J 趋近于零的条件为 ??J =0 在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分??2J。 在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分。因为满足极值条件时 由于二阶变分??2J与小参数??成正比，而k阶变分??kJ 与小参数??k 成正比。因此，当??充分小时，三阶以上变分与二阶变分??2J 比较，可以忽略不计。因此，如果???J ≥0，则???J＞0，泛函J[y]为极小值的；反之，如果???2J ≤0，则??J ＜0，泛函J[y]为极大值的。 因此可以得出结论，泛函J具有极值的条件是其一阶变分??J=0，如果二阶变分??2J是正定的，则此极值是最小值；如果二阶变分??2J是负定的，则此极值是最大值。 上述条件为泛函极值的充分条件。以下讨论泛函J [y]极值的必要条件。 对于泛函J[y]的一阶变分 由于变分??y 和??y 不是独立无关的，因此上式第二项积分可以写作 回代则 回代，则 由于函数y（x）在P1，P2 两点的值为已知，? y在这两点不可能有变化，即在x=x1和x=x2时，?? y=0，所以 由于??y在区间（x1，2）是x的任意函数，所以上式成立的必要条件为积分函数在区间（x1，x2）内为零。即y（x）能使得泛函为最大或者最小的必要条件是 上式称为欧拉(Euler)方程。求解此方程并且利用相应的边界条件，就可以确定y（x）。欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件，并不是充分条件。如果