多年高考试题分类汇总11—第十一章极限、导数与积分283.docVIP

轩辕工作室精心汇编  PAGE \* MERGEFORMAT 4 第十一章 极限、导数与积分 ●考点阐释 本章为新教材增设内容，是学习高等数学的基础.它在自然科学、工程技术等方面都有着广泛的应用. 重点掌握： 1.函数极限的四则运算法则及两个重要的极限，并能利用它解决有关问题. 2.了解函数在一点处的连续性的定义，从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值. 3.从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的关系，会求一些实际问题的最值. 4.掌握微积分的基本公式，理解定积分的几何意义.掌握直角坐标系中图形面积以及旋转体体积的计算方法. ●试题类编 一、填空题 1.（2002天津理，15）直线x=0，y=0，x=2与曲线y=（）x所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积等于_____. 2.（1998上海，3）若，则a= . 3.（1996上海理，16）= . 二、解答题 4.（2002天津文，21）已知a＞0???函数f（x）=x3－a，x∈［0，+∞）.设x1＞0，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l. （Ⅰ）求l的方程； （Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0）.证明： （i）x2≥a； （ii）若x1＞a，则a＜x2＜x1. 5.（2002天津理，20）已知a＞0，函数f（x）=，x∈（0，+∞）.设0＜x1＜，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l. （Ⅰ）求l的方程； （Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0），证明： （i）0＜x2≤； （ii）若x1＜，则x1＜x2＜. 图11—1 6.（2001天津理，21）某电厂冷却塔外形是如图11—1所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m，BB′=22 m，塔高20 m. （1）建立坐标系并写出该双曲线方程. ※（2）求冷却塔的容积（精确到10 m3，塔壁厚度不计，π取3.14） 7.（1995上海文，22）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且 f′（x）=2x+2. （1）求y=f（x）的表达式； ※（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 8.（1995上海理，22）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且 f′（x）=2x+2. （1）求y=f（x）的表达式； ※（2）若直线x=－t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值. 说明：凡标有※的试题与2002年教学大纲及2003年高考考试说明要求不符，仅供读者自己选用. ●答案解析 1.答案： 解析：由旋转体的体积公式V=π . 2.答案：4 解析：依题意有：=2，∴a=4 3.答案：－ 解析：原式=. 4.（Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）=3x2，由此得切线l的方程： y－（x13－a）=3x12（x－x1）. （Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y=0， x2=x1－， （i）≥0， ∴x2≥a， 当且仅当x1=a时等号成立. （ii）若x1＞a，则x13－a＞0，x2－x1=－＜0，且由（i）x2＞a， 所以a＜x2＜x1. 5.（Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）=－，由此得切线l的方程： y－（）=－（x－x1）. （Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y=0， x2=x1（1－ax1）+x1=x1（2－ax1），其中0＜x1＜. （i）由0＜x1＜，x2=x1（2－ax1），有x2＞0，及x2=－a（x1－）2+. ∴0＜x2≤，当且仅当x1=时，x2=. （ii）当x1＜时，ax1＜1，因此，x2=x1（2－ax1）＞x1，且由（i），x2＜， 所以x1＜x2＜. 图11—2 6.（1）如图11—2建立直角坐标系，xOy，使AA′在x轴上， AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴. 设双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），则a=AA′=7. 又设B（11，y1），C（9，y2），因为点B、C在双曲线上，所以有 ① ② 由题意，知y2－y1=20. ③ 由①、②、③，得 y1=－12，y2=8.b=7. 故双曲线方程为=1； （2）由双曲线方程，得x2=y2+49. 设冷却塔的容积为V（m3），则 . 经计算，得V=4.25×103（m3）. 答：冷却塔的容积为4.25×103 m3. 评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力. 7.解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又已知f′（x