孔凡哲—关于几何直观的含义与表现形式—课程教材教法—2012—07—92—97.doc

关于几何直观的含义与表现形式 ——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识 孔凡哲1作者简介：孔凡哲（1965-），男，汉族，山东济宁人，东北师范大学教育学部教授、博导、教育学博士，国家基础教育实验中心副主任，东北师范大学教师教育研究院副院长，东北师范大学南湖实验学校校长，主要从事数学教育、课程与教学论、命题评价与教师教育研究。 史宁中2 （1.国家基础教育实验中心;2.东北师范大学教育科学学院，吉林 长春130024） 《课程·教材·教法》2012年第32卷第7期：第92-97页 摘要：几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。几何直观通常是在有背景的条件下进行的。借助几何直观“看”出来的结果，需要经过逻辑推理的验证。几何直观有助于将抽象的数学对象直观???、显性化，因而，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一。在中小学数学中，几何直观可以体现为实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观四种表现形式。培养和发展学生的几何直观，需要依托数学课程的每个领域，依托具体的数学课程教学内容，需要具体落实在课程内容之中、课堂教学细节之中。这种工作以保护学生先天的几何直观的潜质作为起点，以有效提升学生的几何直观（能力）水平作为终点，最终形成针对几何的敏锐洞察力和深厚的数学素养。 关键词：几何直观；含义；表现形式；培养；案例 中图分类号：G633.6 文献标识码：A “注重培养学生的几何直观”是进入新世纪以来数学教育的热点话题之一，2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》参考文献：  中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）[M]，北京：人民教育出版社，2003年. 明确提出了针对“几何直观”的要求，如，“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质……培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”，而《义务教育数学课程标准》（2011年版） 中华人民共和国教育部制订，义务教育数学课程标准（2011年版），北京：北京师范大学出版社，2011年. （以下简称《标准》（2011年版））先后多处针对“几何直观”提出明确要求，即“在‘图形与几何’的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力”、“初步形成几何直观和运算能力”、“感受符号和几何直观的作用”、“在设计试题时，应该关注并且体现《标准》的设计思路中提出的几个核心词：数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念”、“特别是对于几何图形分类，有利于培养几何直观性和思维的层次性”、“利用几何图形研究代数问题。利用直角坐标系，不仅能够推导出几何图形的代数表达式，还能够利用几何图形来研究代数问题，这是帮助学生建立几何直观的有效途径。” 如何理解几何直观？如何结合中小学数学课程教学的典型案例，理解几何直观的具体表现、如何培养几何直观？本文就此阐述自己的理解。 一、几何直观的含义及其表现形式 对于几何直观，《标准》（2011年版）中明确指出，“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题”。严格意义上讲，这是针对几何直观的作用的解释性说明，而不是针对几何直观的含义的诠释，即不是针对“几何直观”的明确定义。 几何直观究竟是什么含义呢？我们认为： 它首先是一种特殊的数学直观。 所谓直观，《辞海》（第六版）的解释 辞海编辑委员会，辞海（第六版彩图本）[M]，上海：上海辞书出版社，2009年版：第2938页. 是“①即感性认识。其特点是生动性、具体性和直接性；②指旧唯物主义对认识的理解”。《中国大百科》（/default. aspx）的解释是“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。拉丁文为interi，意为‘凝视’。中国按其不同涵义分别译为‘直观’和‘直觉’。直观的字面意义是直接的观察。” 对于数学直观，M.克莱因指出，“Brouwer坚持认为，…决定概念的正确性和可接受性的，是直观，而不是经验和逻辑”，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直觉上” M.克莱因.古今数学思想[M]，第四册.上海：上海科技出版社，1979年：第311页;第99页. ；而西方哲学家通常认为，“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为，“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。当代著名数学家徐利治教授提出，“直观