初中数学分类讨论思想在解题中应用研究.docVIP

福建安溪梧桐中学 黄坚强 摘要：分 类讨论思想是现代各学科教学中一种重要的解决问题的方法和思路，也是现代科学研究处理复杂问题的有效途径之一。因此，提高分类讨论思想的引导，让学生尽早 掌握分类讨论思想的运用技巧和优势，对于培养高素质人才有着重要意义。本文就初中数学中分类讨论思想的应用做几点研究分析，希望能给学生们带来一些帮助。 关键字：数学；分类讨论；解题 分 类讨论思想是现代各学科教学中一种重要的解决问题的方法和思路，也是现代科学研究和应用中解决各类复杂问题的有效途径之一。初中数学是数学教学的一个转折 点，由初中开始，正式引入代数的名称，并且将数学中的数值种类进一步的扩大，使得数学包含的内容大大丰富起来，是转入近代数学的起始阶段，也是进行分类讨 论思想教学的最好时期。 一、分类讨论思想概述 数 学中的分类思想是指根据数学研究对象的各类属性的相同点和不同点，将相应的数学对象划分成几个不同的种类，进行分类研究处理的一种数学思想，同时，也是一 种重要的数学思维方式。而数学中的分类讨论，则是指根据数学对象各种属性异同点划分的种类，分别进行讨论以全面把握数学问题的各种可能性，以此来解决数学 问题的的一种数学解题方法。分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中，往往可以让复杂的问题简单化。运用该思想不仅可以培养学生思考的缜密性、逻辑 的严密性，对于促进学生的思考、研究、探索能力提高，也有着很大的益处。 二、常见分类思想运用领域 （一）从数学概念、性质、定理以及公式的限制条件进行讨论 在初中的数学课程中，有许多数学概念是分类进行定义的，比如实数的绝对值是否大于本身，所以应用此类概念进行解题时，就需要进行分类讨论。同时，一些定理、公式等数学内容也有分情况予以表述的，或者有特定德 适用范围，比如二次曲线函数的最大值和最小值问题，在运用此类定理、公式解题时，一定要注意分类进行讨论，让学生领会定理、公式的适用范围。 例1：已知x≠2，则化简的结果是（ ） A x-2 B x+2 C –x-2 D 2-x或x-2 解析 把被开方数配方，再根据x的取值判断开放后的式子的符号，看是否要加上负号。 ∵x≠2 ∴x﹥2或x﹤2 ∵x﹥2 ∴x-2﹥0 ∴==x-2 ∵x﹤2 ∴ x-2﹤0 ∴==2-x 故选D (二)数学变形所需要的限制条件导致的分类讨论 由于一些数学变形需要依靠特定的数学条件，因此在分析一些涉及数学变形的问题时，要对其变形条件进行分类讨论。 例2： 求解不等式ax+4﹥2x+a+1 解析 通过把不等式移项变号变形为（a-2）x﹥a-3,然后根据不等式性质可分为：a-2﹥0,a-2=0和a-2﹤0三种情况分别求解不等式。 （三）数学问题中还有变量，这些变量的不同取值导致产生不同的结果 初 中数学的一个重大改变，就是引入了变量和确定函数的数学概念，使得数学真正从传统的数值计算迈入近代数学。一元一次方程、二元一次方程、多元一次方程、一 次函数、二次函数等等涉及变量的诸多数学问题得以出现，其丰富的知识内容，宽广的实际应用，都为培养学生掌握数学的分类讨论思想提供了优厚条件和大量的案 例。 例3：已知y=-x+8是一个一次函数，y=a／x(a≠0)是一个反比例函数，求当a满足什么条件时，函数y=-x+8和函数y=a／x(a≠0)能在同一直角坐标系平面中存在两个交点，以及设定这两个交点分别为C和D，试比较∠COD与90°角的大小。 解析 如果一次函数y=-x+8和反比例函数y=a／x(a≠0)在同一直角坐标系内有交点，那么着两个函数连理构成的方程必定有解，根据一元二次方程求根定律可得出a﹤16且a≠0；而在确定∠COD与90°角的大小时，由于a存在0﹤a﹤16或a﹤0两种情况，使得反比函数的图像分布拥有两种情况，因此要根据变量a不同值进行分类讨论，当0﹤a﹤16,两交点在第一象限，∠COD﹤90°；a﹤0时，两交点分步在二、四象限，∠COD﹥90°。 三、培养学生分类讨论思想的路径 分类讨论思想贯穿中学整个数学课程的始末，充分发挥分类讨论思想的优势，可以将复杂的问题大大简化，不仅有助于提升学生的学习效率，还有助于培养的数学思维能力。 （一）概念、定理、公式讲解全面透彻 要做到全面、合理的分类讨论，拥有扎实的知识储备是必不可少的，因此，教师一定要对存在变化的数学概念、定理、公式进行全面的讲解，把各种情况透彻的传达给学生。 （二）头脑风暴活动 数 学中分类讨论也是一种高强度的脑力活动，需要学生调动所有的可能情况，并根据实际的条件一一印证。而现代脑力开发训练的头脑风暴活动正是培养学生短时间调 动所学所有知识的最有效方法，因此，通过教师制定一些存在变化的数学题???，开展一