常微分方程A解析.docVIP

常微分方程试题(A)（评分标准） 一．填空题（每小题4分，本大题共16分）. 方程的通解为． 初值问题 的解与积分方程 的解等价.如果取，试用逐步逼近法求= 。 将初值问题化为与之等价的 一阶线性方程组的初值问题为． 4. 当满足时, 的所有解当，都趋近于零。 二．判断题，在正确命题后面的括号内打√，错误命题后面的括号内打（每小题4分，本大题共16分）. 1． 方程sin=0是三阶线性方程。 （ ） 2．是恰当方程的充分必要条件是． （ √ ） 3．设A,B是两个阶常数矩阵，则exp(A+B)=expA+expB。 ( ) 4．如果矩阵A具有n个特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵，，…，]，是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵． （ ） 三：解微分方程（每小题7分，本大题共35分）． 1. 解：先解齐次方程，通解为。 …………………………………(3分) 用常数变易法，令非齐次方程通解为， 代入原方程，化简得。 …………(5分) 积分得。代回后即得原方程通解…………(7分) 2． 解：这里，， 这时，是恰当方程。 …………(2分) 积分，得。 …………(4分) 解，得到 …………(6分) 所以 ，所以，原方程的通解为…………(7分) 3． 解：令，则方程化为 …………(2分) 可以得到 即， …………(4分) 所以，这里为任意常数。 …………(7分) 4． 解：特征方程的根为是重根， …………(2分) 因此方程有四个实值解 ， …………(4分) 故通解为。 …………(7分) 5． 解：特征方程有重根， …………(2分) 因此对应齐线性方程的通解为，其中为任意常数。…………(4分) 现求原方程的一个特解 求形如的特解，代入原方程得到， …………(6分) 所以，所以原方程的通解为：. …………(7分) 四：求下面微分方程组的通解（每小题7分，本大题共14分）. 1. ， 解：系数矩阵 的特征根为， ，， …………(2分) 它们分别对应的特征向量为： …………(5分) 所以原方程的通解为：++。 …………(7分) 2. ， 解：系数矩阵 的特征根为， ， …………(2分) 对应于特征根为的特征向量为：。可以得到原方程的一个解， 再设原方程有下面形式的解：，代入原方程可以得到，，，所以 和 是原方程的解，…………(5分) 因此原方程的通解为++， …………(7分) 五：（本题7分） 如果是在区间上的基解矩阵，是非奇异矩阵，那末，也是在区间上的基解矩阵. 证明：首先，根据解矩阵的定义易知，方程的任一解矩阵必满足关系 ， （） …………(2分) 反之亦然。现令 （） 微分上式得：，即是的解矩阵。 …………(5分) 又由的非奇异性，有= （）。 所以即是的基解矩阵。 …………(7分) 六：判断下面方程零解的稳定性（本题7分） 解：取定正函数 ， …………(2分) 则有=, …………(5分) 可见为定负的。所以零解是渐近稳定的。 …………(7分) 七:（本题5分） 假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若，，则在区间I上必有 成立． 证明 仅证方向，（反之亦然）． …………(1分) 假设存在，使得（=不可能出现，否则与解惟一矛盾 令=-，那么