9.3正定二次型.ppt

9.3.1 正定二次型与正定矩阵 9.3.2 正定二次型的判别 * * 一．内容分布 9.3.1正定二次型 9.3.2 正定二次型的判别 二、教学目的 1．掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型的概念。 三、重点、难点 实二次型 正定的判定。 2．掌握实二次型 正定的判 定定理。 9.3 正定二次型 1．基本概念 i）正定二次型 实二次型 称为正定的，如果对于 任意一组不全为零的实数 都有 ii）正定矩阵 实对称矩阵 称为正定的，如果二次型 iii）负定、半正定、半负定、不定的二次型 设 是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数 ， 都有 , 那么 称为负定的； 都有 ，那么 称为半正定的； 都有 ， 那么 称为半负定的； 如果它既不是半正定又不是半负定，那么 就称为不定的. 称为正定 称为负定 称为半正定 称为半负定 例1 下列实二次型是否为正定的二次型： 1） 2） 3） （半正定） 例2 若 ， 都是 阶正定矩阵， 证明： 是正定矩阵。 证明： 只需证明 正定。 由 ， 都是正定矩阵，知 ， 正定， 所以对于任意一组不全为 零的实数 ， 有 ， 从而 故 正定。 2．两个结论 实二次型 是正定的当且仅当 . 证明：若 正定，则对任意一组不全为零的实数 ，都有 . 分别选取 为 ，则有 . 若 .则对任意一组不全为零的实数 ，都有 所以 是正定的。 非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变. 设实二次型 (1) 经过非退化实线性替换(变量可逆线性变换) (2) 变成二次型 (3) 则 是正定的 是正定的。 证明： 若 是正定的。对于任意一 组不全为零的实数 ，令 由于 是可逆实矩阵，故 也是一组不全为零的实数，从而 因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换 变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时，（1）也正定. 1．判别定理1： 实二次型 是正定的 它的惯性指标等于 . 实二次型 是正定的 它的典范形为 。 一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合同. 例3 正定矩阵的行列式大于零. 逆命题不成立。 反例： 的行列式大于零，但它对应的二次型  不是正定的。 2．矩阵的顺序主子式 称为矩阵 的顺序主子式. 矩阵 的第 个顺