Lecture_16-北京大学力学系.ppt

* 北京大学工学院 线性代数与几何（下） * 第四章 线性方程组(System of linear equations)第16次课 §5 线性方程组有解的判别定理 线性方程组(4.1) 有解的充分必要条件是 右端项的列向量β可以由系数矩阵的列向量组α1, α2…αn 线性表示 2) 向量组α1,α2,…αn,β与向量组α1,α2,…αn等价 3) 向量组α1,α2,…αn,β与向量组α1,α2,…αn秩相等 4) 增广矩阵与系数矩阵的列秩相等。 5) 增广矩阵与系数矩阵的秩相等 * * 这些条件与从前的Gauss消元法是一致的。（通过行变换与换列）Gauss消元法可以得到如下的阶梯形方程组 (4.30) * 写成对应的矩阵形式就是：增广矩阵可化为 当dr+1为零时，增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相同（有解），否则增广矩阵的秩多1个（无解）。 (4.30) §6 线性方程组解的结构 * 我们将方程组(4.1)的解(k1,k2,…,kr,…,kn)视为n维向量空间中的向量，并称为解向量。 设方程组(4.1)有解，矩阵的秩为r，且设前r个“方程”线性无关，按线性方程组的Gauss消去法可得 (4.31) * 也即 (4.32) (4.32)作为x1, x2, …, xr的一个方程组，它的系数矩阵之行列式不为零。在给定xr+1, xr+2, …, xn情形之下，有惟一解 (Cramer 法则） * 齐次线性方程组，很容易证明 两解之和还是解 一解之倍数还是解 齐次线性方程组的所有解形成子空间 也就是说，齐次线性方程组的解的线性组合仍然是齐次线性方程组的解。下面的问题就是：是否所有的解都可以通过“某一些”解表示出来？ * 定义：（基础解系）齐次方程组的一组解η1, η2, …, ηt 称为基础解系，如果 η1, η2, …, ηt可以线性表示齐次方程组的任意解； η1, η2, …, ηt线性无关。 例： 系数矩阵的秩为2，解是 相应的基础解系为 定理：设齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为r。如r n，则上面的齐次线性方程组有非零解，且基础解系所含的解的个数为n?r。(r=n的情况已有定理，只有零解) * (4.33) * 命题：任何一个含有n-r个向量的线性无关解向量组是基础解系 一般称非齐次方程组(4.1)所对应的齐次线性方程组(4.33)为非 齐次方程组的导出组。 在非齐次方程组的解与导出组的解之关系 两个非齐次方程组的解之差是导出组的解； 一个非齐次方程组的解与一个导出组的解之和仍然是非齐次方程组的解。 * 定理：如果γ0是非齐次线性方程组(3.1)的一个特解，那么方程组(4.1)的解都可以表示成 γ=γ0+η 其中η是导出组(4.33)的解。 推论：如果η遍历导出组的全部解，则(3.35)给出非齐次方程组(3.1)的全部解。 由上面的推论，可以将η用基础解系组合得到，从而 γ=γ0+k1η1 +k2η2 +…+kn-rηn-r * 定理：以下关于线性方程组的说法等价 方程组(4.1)有惟一解； 方程组的系数矩阵的秩等于n（变量个数）且有解； 方程组的系数矩阵的秩等于方程组的增广矩阵的秩，且导出组只有零解； 方程组(4.1)有解，且导出组只有零解； * 二元方程组解的关系（齐次，非齐次） 三元方程组解的关系（齐次，非齐次） * 第十六次课作业 P185. 14，16 , 19, 23(1), 24(1) *