《等差数列前n项和的公式》的案例分析.doc

课题：3.3 等差数列的前n项和（第一课时） 为了使学生易于接受等差数列前n项和的公式的推导过程，本节课做了一些改变：一是把引例一个变为两个简单数字事物；二是将推导之后的分析加重，，便于学生形成有效的认知结构，同时也为正确灵活地运用公式打下良好的基础本节课试图通过师生共同活动，使学生开始就处于积极思维的状态，使学生掌握等差数列的前n项和的推导过程并公式。【】n项和公式及其推导方法 2等差数列的前n项和公式的简单应用 情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。 过程与方法：通过公式的推导和应用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法。从代数和几何两方面认识和理解等差数列前n项和公式，体现代数几何本一家。 【教学重点】【教学难点】获得推导公式的思路创设情景n项和：＝，如图（先出示一半）表示堆放的钢管，共8层，自上而下的钢管组成等差数列；4，5，6，7，8，9，10，11，求钢管的总数，即求和。 S8=4+5+6+7+8+9+10+11生1：连加求和（学生）师：的算法？生2：考虑到4＋11=5＋10=6＋9=7＋8=15，共有4个15，所以S8=4×15=60．：这个解答过程很漂亮，注意到大家还有其它解法吗？（有了良好的开端，学生们开始窃窃私语讨论、七嘴八舌地说开了。）生3：如果在这堆钢管的旁边放一堆钢管，则每层的钢管数相等，都是15。：大家为怎样?（学生兴奋地回答不少学生对3投去钦佩的目光）。师：将知识系统化寻求n项和的公式具体例子 生组，所以＝（1＋n） 师：大家同意他的解法吗？（沉默一会，马上发现解法中的漏洞） 生＝（1＋n） n为奇数时：先考虑前n－1项，然后加上第n项＝（1＋n） 师：减掉最后一项n转化成偶数项，或者我们也可以……（学生齐声回答：在后面增加一项n＋1）或者也可以……（学生齐声回答：在前面增加一项0）分组求和法需要讨论n的奇偶性，有没有更优方案？（学生齐声回答：倒序相加法）教师板演求和的详细过程 师：，能否用同样的方法解决提出的问题寻求n项和的公式 二、等差数列前n项和公式的推导 1．代数证明： 等差数列的前项和公式1：（板书） （学生自行推导，生6的推导过程实物投影） ① ② ①+②： ∵ ∴ 由此得： 师：这个公式的推导过程，体现了从特殊到一般的认识过程如果已知等差数列的得到项和公式2：(板书) 分析：（1）已知用公式1，已知用公式2。 （2）五个量中“知三求二”，实质是方程的思想。 师：项和公式的认识只是停留在代数的层面上，接下来我们从几何的角度进一步认识等差数列的前项和公式。 2.几何证明： [幻灯片4] 师：我们发现，项和公式可与梯形面积公式相类比．这里的上底是等差数列的首项，下底是第n项，高是项数n．（板书） 师：，则上式可写成。当A≠0（即d≠0）时，是一个常数项为零的二次式。 课后思考题：若数列是等差数列，则。若，那么数列是等差数列吗？ 三、公式的应用 师：下面我们举例说明项和公式1、2的一些应用．例1计算：(1)求自然数列中前n个奇数的和．(答：Sn=n2．))求自然数列中前n个偶数的和．(答：Sn=n(n＋1))（）1-2+3-4+5-6…+（2n-1）-2n 。师：第（）小题的数列共有几项？是否为等差数列？如何解答？生：共有2n项，不是等差数列把正项和负项分开，可以看成两个等差数列，原式=[1+3+5+…（2n-1）]-[2+4+6+…2n]=n2-n（n+1）=-n生：有一个规律，两项结合都为-1原式=-1-1-1-1-…-1=-n 师：很好，在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会找到好的方法。注意在运用Sn公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解。中，（1）已知 （2）已知 （3）已知 师：通过个例题，对于等差数列的相关量、d、n、、Sn，已知几个量就可以确定其他量？生：一般说来，只要知道了其中的三个，通过解方程或方程组就可以求出其余两个．例3 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 课堂练习：教科书：118页练习1，2，4 四、课堂小结 1.公式推导：分组求和，倒序相加 2.等差数列的前项和公式 公式1： 公式2： 3.等差求和的应用（知三求二） 五、课后作业： 教科书118页：习题3.3中的1（2）（4），2题