为不动点迭代法.ppt

第7章 非线性方程求根 7.1.2 二分法 7.2 迭代法及其收敛性 7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 7.2.3 局部收敛性与收敛阶 7.3 迭代收敛的加速方法 7.3.2 斯蒂芬森迭代法 由于 将它与（3.1）式联立，消去未知的 ，有 由此推知 在计算了 及 之后，可用上式右端作为 的新近似， 记作 . 一般情形是由 计算 ，记 （3.2） (3.2)称为埃特金（Aitken）加速方法. 可以证明 它表明序列 的收敛速度比 的收敛速度快. 埃特金方法不管原序列 是怎样产生的，对 进 行加速计算，得到序列 . 如果把埃特金加速技巧与不动点迭代结合，则可得到 如下的迭代法： （3.3） 称为斯蒂芬森(Steffensen)迭代法. 它的理解为，要求 的根 ，令 ， ，已知 的近似值 及 ，其误差 分别为 7.1 方程求根与二分法 7.1.1 引言 （1.1） 本章主要讨论单变量非线性方程 的求根问题，这里 一类特殊的问题是多项式方程 （1.2） 的求根问题，其中系数 为实数. 方程 的根 ，又称为函数 的零点， 它使 ，若 可分解为 其中 为正整数，且 当 时，称 为单根，若 称 为（1.1） 的 重根，或 为 的 重零点. 若 是 的 重零点，且 充分光滑，则 当 为代数多项式（1.2）时，根据代数基本定理 可知， 次方程在复数域有且只有 个根（含复根， 重 根为 个根）. 时方程的根是大家熟悉的， 时虽有求 根公式但比较复杂，可在数学手册中查到，但已不适合于 数值计算，而 时就不能用公式表示方程的根. 通常对 的多项式方程求根与一般连续函数方程 （1.1）一样都可采用迭代法. 迭代法要求先给出根 的一个近似，若 且 ，根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根，这时称 为方程（1.1）的有根区间. 通常可通过逐次有哪些信誉好的足球投注网站法求得方程（1.1）的有根区间. 例1 求方程 的有根 区间. 解 根据有根区间定义，对 的根进行有哪些信誉好的足球投注网站计 算，结果如下： 由此可知方程的有根区间为 考察有根区间 ，取中点 将它分为 两半，假设中点 不是 的零点，然后进行根的有哪些信誉好的足球投注网站. 检查 与 是否同号，如果确系同号，说明所 求的根 在 的右侧, 这时令 ；否则 必 在 的左侧，这时令 . 见图7-1. 图7-1 不管出现哪一种情况，新的有根区间 的长度仅 为 的一半. 对压缩了的有根区间 又可施行同样的手续，即 用中点 将区间 再分为两半，然后通 过根的有哪些信誉好的足球投注网站判定所求的根在 的哪一侧，从而又确定一 个新的有根区间 ，其长度是 的一半. 如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间 其中每个区间都是前一个区间的一半，因此 的长度 当 时趋于零，就是说，如果二分过程无限地继续 下去，这些区间最终必收缩于一点 ，该点显然就是所 求的根. 每次二分后，设取有根区间 的中点 作为根的近似值，则在二分过程中可以获得一个近似根的 序列 该序列必以根 为极限. 由于 （1.3） 只要二分足够多次（即 充分大），便有 这里 为预定的精度. 例2 求方程 在区间 内的一个实根，要求准确到小数点后第2 位. 解 这里 ，而 取 的中点 ，将区间二等分，由于 ， 即