利用Jacobi多项式实现Bézier曲面的显式约束降多阶-浙江大学数学系.doc

利用Jacobi多项式实现Bézier曲面的显式约束降多阶 周联a,b 王国瑾*a,b a浙江大学数学系, 杭州310027 b浙江大学CADCG国家重点实验室, 杭州 310027 摘 要 本文利用Jacobi多项式的表达形式及正交性质, 给出了张量积Bézier曲面在范数下一次性降多阶的一个新算法. 在没有端点或边界约束的条件下, 它有以下三个优点：第一, 降阶曲面的控制顶点可用矩阵形式由一个显式来直接表出, 即降阶曲面的控制顶点可以由原曲面的控制顶点和事先已经计算好并存于数据库的几个矩阵所决定, 因而计算简单且快捷；第二, 降阶逼近的误差可事先求出, 用于考察它是否小于用户所指定的公差, 从而避免了无效的降阶；第三, 本算法的精度是最佳的, 即不可改进的; 而在带约束的情形下, 降阶曲面也具有上面第一个优点, 同时还能保持降阶前后的两张曲面在四个角点处沿两个参数方向的高阶连续, 并保持两张拼接曲面分别降阶以后在相邻边界曲线处的连续. 本算法特别适用于由几张Bézier曲面拼接而成的一张复杂曲面的降多阶, 也适用于与曲面离散相结合的曲面降多阶. 数值例子表明, 本算法与已有算法相比, 不但功能更强, 而且计算更简单, 逼近效果更佳. 关键词 Bézier曲面, 降多阶, 边界约束, 矩阵, 显式, Jacobi多项式, 分块矩阵 1 引言 Bézier曲面是计算机辅助设计/制造(CAD/CAM)系统中的主要造型工具(Farin, 1991, 1995; Farin, Hoschek and Kim, 2002). 随着数字化技术的广泛使用,以不同阶数的参数曲面为基准所设计的不同的造型系统之间, 或者同一个造型系统中不同阶数的两种参数曲面之间, 其几何数据的交换与传递日见频繁. 因而需要对参数曲面实施降阶变换. 其次, 曲面的等距逼近和有理曲面的多项式逼近经常产生高阶曲面, 也需要用降阶算法来压缩几何信息(Farin, 2002; Prautzsch, Boehm and Paluszny, 2001). 另外, 把曲面离散和降阶相结合, 还可化曲面求交为平面求交, 实现造型曲面的快速绘制(Farin, 2002). 近年来, 国际上很多学者对曲线降阶已经作了广泛、深入的研究. 但迄今为止, 有关张量积Bézier曲面降阶的研究工作却屈指可数. Eck(Eck 1994)曾给出了一种简单的曲面降阶算法, 其基本思想是根据曲面的张量积性质,从两个参数方向先后应用Bézier曲线的降阶技术. 陈发来等(Chen and Ding, 1993)、、Bézier曲面的各种降阶算法, 这些算法也都是Bézier曲线降阶算法向曲面形式的成功推广, 不过它们没有考虑曲面的一次性降多阶. 此后,陈国栋等(Chen and Wang, 2002)和郭清伟等(Guo and Zhu, 2004)给出了一次性降多阶或带角点插值的曲面降阶方法. 然而这些方法仍或多或少地存在着局限性, 主要表现在降阶曲面的边界缺乏约束条件以及逼近精度不够高. 事实上,近年来, 产品质量的提升及加工工艺的革新已经对几何设计系统的功能提出了更高的要求,特别地,在曲面降阶方面, 要求一个理想的算法必须同时具备以下6个功能：(1)能实现一次性降多阶——这是为了使算法简单并杜绝累积误差；(2)能保持与原始曲面在角点处沿两个参数方向的高阶连续, 并保持两张拼接曲面分别降阶以后在边界曲线处的位置连续——这是为了适应由几张Bézier曲面拼接而成的一张复杂曲面的降多阶, 或者适应与曲面离散相结合的曲面降多阶；(3)降阶曲面用显式表达——这是为了使计算简单而快捷；(4)降阶逼近误差最小；(5)降阶计算耗时最少；(6)降阶逼近误差可在曲面降阶之前先验地求出——这是为了避免无效的降阶，因为一旦这个先验性的误差超过了用户指定的公差,就可预先取消对原曲面的降阶, 转而把曲面离散,再对子曲面分别降阶. 我们发现,Jacobi多项式的表达形式及正交性质, 非常适合用于同时满足曲面降多阶及边界约束这两个要求, 更为降阶逼近的先验误差最小以及降阶曲面的显式表达提供了十分有利的条件. 基于这种思想, 本文利用Jacobi多项式与Bernstein多项式相互转换的公式, 给出了张量积Bézier曲面在范数下显式降多阶的一个新算法. 在曲面的边界曲线及角点无约束的情形下, 本算法的精度是最佳的; 而在有约束的情形下, 降阶前后的两张曲面能保持在四个角点处沿每条边界线方向的高阶连续, 且任何两张拼接曲面分别降多阶以后能保持在公共边界曲线处的连续, 从而避免了一张分片连续的Bézier曲面在逐片降阶以后于拼接处有“裂痕”出现. 同时, 降阶操作的公式是简单的矩阵表示, 这些