一元积分学的几何应用与重积分计算.docVIP

一元积分学的几何应用与重积分计算 一、考试内容 （一）一元积分学的几何应用 1、平面图形的面积 2、旋转体体积 注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示 3、曲线的弧长 4、旋转体的侧面积 （二）重积分计算法则 1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质： （1）当积分域对称于轴时，令是关于轴某一侧的部分，则有 上述性质可类似地应用于关于轴的对称性与函数关于的奇偶性 （3）当积分域关于原点对称时，若，则有 （4）若将互换，积分域不变，（关于对称） 则（轮换性） 2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质： （1）当积分域对称于面时，令是关于面某一侧的部分，则有 上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性 （2）若将互换，积分域不变， 则（轮换性） 3、记忆重积分的算法 对， 对， 对， 特别地， 对，为在面的投影 则，此为先二后一法 对绕轴（）的旋转体区域，为在处的横截面区域， 则，此为先一后二法 特别地，截面面积为已知的立体体积 对由球面与锥面所围成的区域，可利用球坐标法计算： 二、典型例题 （一）一元积分学的几何应用 例1、求由曲线及在上半平面围成图形的面积及周长. 解： . 例2、设图形由与确定，求绕直线旋转一周所得的. 解：（一）用元素法，相应于上的任一小区间的薄片体积的元素为 0 2 （二）用特殊的元素法 对于该题有. 例3、设闭曲线所围成图形的面积. 解：其极坐标方程为，由封闭性知 但由于图形上、下、左、右的对称性，知所求面积. 例4、求曲线和直线所围成图形绕极轴旋转一周的. 解：. 例5、位于第一象限的图像与轴、轴所围区域的面积为． 解：面积 ． 例6、设，求其所示曲线与直线及轴，轴围成的区域绕轴旋转一周生成的旋转体体积． 解：． 例7、已知曲线的斜率为，则该曲线在中的弧长为． 例8、求曲线的全长． 解：，而 ． 例9、设函数在闭区间[0, 1]上连续,在开区间(0, 1)内大于零,并满足 (为常数) , 又曲线与所围成的图形S的面积值为2,求,并问为何值时,图形S绕轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小. 提示： 当 时，有，则 由边连续性知.又由已知条件得2=，有 因此，体积为, 令 ,得 .又 ,故知当时,体积最小. 注：有时，平面图形的面积或旋转体体积可表示成关于参量的变限积分，在求极值时，可对此变限积分求（偏）导. 例10、设是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点. 若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求的表达式. 提示 ： ， 两边关于x求导，得当时，得，当x=0时，f(0)=1. 由边连续性知 （二）重积分计算 例1、交换二次积分的积分顺序=. 解：画出积分区域，知道它是由三条直线：，，围成， 原式. 例2、 . 例3、计算. 解: . 例4、设区域，求. 解：因互换，区域不变，则 故原式 例5．计算，其中 解：令，由二重积分奇偶对称性性质知，. 例6、计算. 解：原式. 例7、求 . [解] 如图, 原式 . 例8、设表示不超过的最大整数，计算二重积分. [解1] 原式 . [解2] ， 则有， 原式. 例9、设连续，求，由与所围. 解: . 例10、连续函数的定义域为，且，其中,求. 解：由二重积分奇偶对称性性质知， 将上式两端同时对求导，即 又，得，故. 例11、求 . 例12、设f (r)