姜启源编《数学模型》第四版_第三章简单的优化模型课件.pptx

第三章 简单的优化模型 --静态优化模型 3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 消费者的选择 3.5 生产者的决策 3.6 血管分支 3.7 冰山运输 现实世界中普遍存在着优化问题. 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数. 求解静态优化模型一般用微分法. 静态优化问题指最优解是数(不是函数). 简单的优化模型(静态优化) 3.1 存贮模型 问 题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出. 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小. 要 求 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系. 问题分析与思考 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元. 日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元. 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元. 平均每天费用950元 平均每天费用2550元 10天生产一次,平均每天费用最小吗? 每天费用5000元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数. 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数. 目标函数——每天总费用的平均值. 周期短，产量小 周期长，产量大 问题分析与思考 模 型 假 设 1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 建 模 目 的 设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小. 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理. 模 型 建 立 贮存量表示为时间的函数 q(t) t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0. 一周期 总费用 每天总费用平均 值（目标函数） 离散问题连续化 A =QT/2 模型求解 模型解释 定性分析 敏感性分析 参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响 T对c1的(相对)敏感度 c1增加1%, T增加0.5% S(T,c2)=–1/2, S(T,r)=–1/2 c2或r增加1%, T减少0.5% 经济批量订货公式（EOQ公式） 用于订货供应情况: 不允许缺货的存贮模型 模型应用 回答原问题 c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货. 思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别? 允许缺货的存贮模型 A B 当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失. 原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货). 现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足. 周期T, t=T1贮存量降到零 每天总费用 平均值 （目标函数） 为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T′, Q记作Q′. 允许缺货的存贮模型 不允许缺货 模型 允许缺货模型 允许缺货模型 注意：缺货需补足 Q?~每周期初的存贮量 每周期的生产量R （或订货量） Q~不允许缺货时的产量(或订货量) 存 贮 模 型 存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的重要理论基础, 也有实际应用. 建模中未考虑生产费用, 为什么?在什么条件下可以不考虑(习题1)? 建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计), 如果生产能力有限(大于需求量的常数), 应作怎样的改动(习题2)? 3.2 生猪的出售时机 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80kg重的生猪体重增加2kg. 问题 市场价格目前为8元/kg，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售? 如果估计和预测有误差，对结果有何影响? 分析 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大. 求 t 使Q(t)最大 10天后出售，可多得利润20元. 建模及求解 生猪体重 w=80+rt 出售价格 p=8–gt 销售收入 R=pw 资金投入 C=4t 利润 Q= R