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中国海洋大学 2010年 共3页 第 1 页
考试说明:本课程为闭卷考试,满分为:100 分.
题号
得分
表示矩阵的秩,表示矩阵的伴随矩阵,表示阶单位矩阵,表示矩阵的转置矩阵,是的元素的代数余子式.
一、填空 (18分)
1. 设为3阶矩阵,且,则 = .
2.设是三个不同的数,,则 .
3. 设矩阵,若存在,使,则 .
4.设是4阶矩阵,秩,则的基础解系含有几个解______.
5. 均为4维列向量,已知,
,则 .
6. 设是阶可逆矩阵,且的每行元素之和是,则的一个特征值为 ,
对应的特征向量为 .
二、选择题 (18分)
1. 设为阶方阵,为方程的一个基础解系,则有( )。 授课教师命题教师或命题负责人签字 《线性代数》课题组 院系负责人
签字
年 月 日
数学科学 学院 线性代数 课程试题(A卷) 共 3 页 第 2 页
(A); (B)也是方程的一个基础解系;
(C)的列向量组的秩为; (D)若,则。
2.设是矩阵,是矩阵,则线性方程组 ( )。
(A)当时,仅有零解 (B)当 时,必有非零解
(C)当 时,仅有零解 (D)当时,必有非零解
3.设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是( )。
(A), (B),
(C), (D).
4.设均为阶实对称矩阵,若存在正交矩阵,使成立.
现有四个命题:
①与合同 ; ②; ③若为正定矩阵,则也是正定矩阵;
④与有相同的特征值.
以上命题正确的是( )。
(A) ②; (B)①②; (C)①②③; (D) ①②③④.
5.设,则在实数域上与合同的矩阵为( )。
(A),(B),(C),(D);
6.设为阶方阵,则( )。
(A)若,则; (B);
(C)若,则; (D).
数学科学 学院 线性代数 课程试题(A卷) 共 3 页 第 3 页
三、(30分)
1. 设,为行列式中元素的代数余子式,
求:.(4分)
2. 设是的一组基,求到
的过渡矩阵. (8分)
3.设向量组 ,,,,求该向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用它们线性表示。(8分)
4.若阶方阵满足。(1)证明:的特征值是1或0;
(2)证明:。(10分)
四、设向量组为齐次线性方程组的基础解系,试证明向量组
也是方程组的基础解系。(10分)
五、(12分)设线性方程组与有公共解,
求的值及所有公共解.
六、(12分) 设二次型,利用正交变换法将二次型化为标准型,并写出正交矩阵.
优选专业年级 学号 姓名 授课教师 座号
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