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第四讲:数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一,包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤,用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一,在数列推理能力的考查中占有重要的地位。
本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法:作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法,以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中,要注意以下几点:
(1)在从n=k到n=k+1的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化,也就是要认清不等式的结构特征;
(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地进行放缩、分析;
(3)活用起点的位置;
(4)有的试题需要先作等价变换。
例题精讲
例1、用数学归纳法证明
分析??该命题意图:本题主要考查数学归纳法定义,证明基本步骤
证明:
1?当n=1时,左边=1-=,右边==,所以等式成立。
2?假设当n=k时,等式成立,
即。
那么,当n=k+1时,
这就是说,当n=k+1时等式也成立。
综上所述,等式对任何自然数n都成立。
点评:
数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命题为P(n).(1)证明当n取第一个值n0时,结论正确,即验证P(n0)正确;(2)假设n=k(k∈N且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时,结论也正确,即由P(k)正确推出P(k+1)正确,根据(1),(2),就可以判定命题P(n)对于从n0开始的所有自然数n都正确.
要证明的等式左边共2n项,而右边共n项。f(k)与f(k+1)相比较,左边增加两项,右边增加一项,并且二者右边的首项也不一样,因此在证明中采取了将与合并的变形方式,这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。
练习:
1.用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4
解析:由题意知n≥3,∴应验证n=3.答案:C
2.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除,其中n∈N
证明:
(1)当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时,
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)
∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除
∴当n=k+1时也成立.
由①②知,当n∈N*时,42n+1+3n+2能被13整除.
例2、求证:.
分析:该命题意图:本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。
用数学归纳法证明,要完成两个步骤,这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析,证明第二步是难点和关键,要充分利用归纳假设,做好命题从n=k到n=k+1的转化,这个转化要求在变化过程中结构不变.
证明:
(1)当n=2时,右边=,不等式成立.
(2)假设当时命题成立,即
.
则当时,
所以则当时,不等式也成立.
由(1),(2)可知,原不等式对一切均成立.
点评:本题在由到时的推证过程中,
(1)一定要注意分析清楚命题的结构特征,即由到时不等式左端项数的增减情况;
(2)应用了放缩技巧:
例3、已知,,
用数学归纳法证明:.
证明:
(1)当n=2时,,∴命题成立.
(2)假设当时命题成立,即
.
则当时,
所以则当时,不等式也成立.
由(1),(2)可知,原不等式对一切均成立.
点评:本题在由到时的推证过程中,
(1)不等式左端增加了项,而不是只增加了“”这一项,否则证题思路必然受阻;
(2)应用了放缩技巧:
练习:
1、证明不等式:
分析
1、数学归纳法的基本步骤:
设P(n)是关于自然数n的命题,若
1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.
2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题,除运用证明不等式的几种基本方法外,经常使用的方法就是放缩法,针对目标,合理放缩,从而达到目标.
证明:(1)当n=1时,不等式成立.
(2)假设n=k时,不等式成立,即
那么,
这就是说,n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)(2)可知不等式对n∈N+都成立.
2.求证:用数学归纳法证明 .
证明:
(1) 当n=1时, ,不等式成立;
当n=2时, ,不等式成立;
当n=3时, ,不等式成立.
(2)假设当时不等式成立,即 .
则当时,
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