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第十章 排列、组合和二项式定理
●网络体系总览
●考点目标定位
1.掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.
2.理解排列与组合的意义,掌握排列数与组合数的计算公式,掌握组合数的两个性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.
3.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.
●复习方略指南
排列与组合是高中数学中,从内容到方法都比较独特的一部分.其重点是在熟练应用公式的基础上,运用两个基本原理,解决计数应用题.
二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用.
本章内容高考所占比重不大,经常以选择题、填空题的形式出现,但对思维能力要求较高,在复习中,要注意通过典型例题,掌握分析问题的方法,总结解题规律.
10.1 分类计数原理、分步计数原理
●知识梳理
分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理,它贯穿于全章学习的始终,体现了解决问题时将其分解的两种常用方法,即把问题分类解决和分步解决,是本章学习的重点.
特别提示
正确区分和使用两个原理是学好本章的关键,其核心是“完成一件事”是“分类”完成,还是“分步”完成.
●点击双基
1.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,共有_____________种行车路线.
A.24 B.16 C.12 D.10
解析:起点为C种可能性,终点为C种可能性,因此,行车路线共有C×C=12种.
答案:C
2.(2002年全国)从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
解析:有2个面不相邻即有一组对面,所以选法为C·C=12种.
答案:B
3.某城市的电话号码,由六位升为七位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话部数是
A.9×8×7×6×5×4×3 B.8×96
C.9×106 D.81×105
解析:电话号码是六位数字时,该城市可安装电话9×105部,同理升为七位时为9×106.∴可增加的电话部数是9×106-9×105=81×105.
答案:D
4.72的正约数(包括1和72)共有__________个.
解析:72=23×32.
∴2m·3n(0≤m≤3,0≤n≤2,m,n∈N)都是72的正约数.
m的取法有4种,n的取法有3种,由分步计数原理共3×4个.
答案:12
5.(2005年春季北京,13)从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成不同的二次函数共有_____________个,其中不同的偶函数共有_____________个.(用数字作答)
解析:一个二次函数对应着a、b、c(a≠0)的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步计数原理,知共有二次函数3×3×2=18个.
若二次函数为偶函数,则b=0.
同上共有3×2=6个.
答案:18 6
●典例剖析
【例1】 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?
解:分两类:(1)幸运之星在甲箱中抽,再在两箱中各定一名幸运伙伴,有30×29×20=17400种结果;(2)幸运之星在乙箱中抽,同理有20×19×30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果.
评述:在综合运用两个原理时,既要合理分类,又要合理分步,一般情况是先分类再分步.
思考讨论
本题为什么要先分类?由于幸运之星在哪个信箱产生对幸运伙伴的产生有影响,分步计数原理中步与步间要独立.
【例2】 从集合{1,2,3,…,10}中,选出由5个数组成的子集,使得这5个数中的任何两个数的和不等于11,这样的子集共有多少个?
解:和为11的数共有5组:1与10,2与9,3与8,4与7,5与6,子集中的元素不能取自同一组中的两数,即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种,
所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.
评述:解本题的关键是找出和为11的5组数,然后再用分步计数原理求解.
深化拓展
上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢?
答案:C·24=80个.
【例3】 (2003年新课程卷)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如下图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有_____________种.(以数字作答)
解法一:从题意来看6部分种4种颜色的花,又从图形看知必有2组同颜色的
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