3.1.2函数的极值.ppt

* 解 得 的单调减区间。 ＊ 用导数求函数的单调区间： （1）求 ，并判断 的符号； （2）解不等式 得 的单调增区间； ＊ 求函数的单调性： （1）定义法； （2）导数法。 复习回顾 高台跳水运动员的运动轨迹如图所示，当 x = a 时，运动员距离水面的高度最大，观察此时，函数 y = f（x）的导数是多少？此点附近的图像有什么特 点？相应地，导数符号有什么样的变化规律？ 引例 x y O a f (x)单调增 f (x)单调减 放大 当 x 在 a 附近从小到大经过 a 时， 先正后负， 且 连续变化,于是有 = 0。 y=f (x) 在 x = a 的函数值 f (a) 比它在这点附近其 它点的函数值都大， ；而且在 x = a 附近的左 侧 ，右侧 ，则 f (a)叫做极大值，a 叫极大值点。类似地，可定义极小值点。 给出定义： 可以发现： 定义 ，函数 y = f (x) 在任何一点的函数值都 不大于 点的函数值，则称点 为函数 y = f (x)的极 大值点，其函数值 为函数的极大值。 O x y a b O x y a b 极大值与极小值统称极值，极大值点与极小值点 统称为极值点。 ，函数 y = f (x) 在任何一点的函数值都 不小于 点的函数值，则称点 为函数 y = f (x)的极 小值点，其函数值 为函数的极小值。 同理， 练习 是 在 内的极大值点： 是 在 内的极小值点： “左正右负 极大值” “左负右正 极小值” 概括 例1 求函数 的极值点。 例2 求函数 的极值。 解析 解析 求极值的步骤： 1. 求导数 ； 2. 解方程 ； 3. 对于方程 的每一个解 ，分析 在 左右两侧的符号，确定极值点： 在 两侧若 的符号 （1） “左正右负”，则 为极大值点； （2） “左负右正”，则 为极小值点； （3）相同，则 不是极值点； 1. 下列函数存在极值的是（ ） 2. 判断下列函数是否有极值，若有，请求出极值； 若无，请说明理由。 左右两侧， 导数符号相同。 无 B 动手做一做 ＊ 求极值的步骤： 1. 求导数 ； 2. 解方程 ； 3. 对于方程 的每一个解 ，分析 在 左右两侧的符号，确定极值点，求极值。 “左正右负极大值” “左负右正极小值” ＊ 规律： 小结 结束 观察函数 的图像，回答： （1） 的极大值点有___个，分别是_______ __________； （2） 的极小值点有___个，分别是_______ __________。 2 6.5 12 17 -1 -3.5 -6 x y 1 1 -3.5 6.5 × 正确么？ 4 -6、-1、17 2、12 3 6.5 -3.5 极大（小）值点不是最大（小）值点，并非只有一个 动手做一做 注意： （1）极值是在某个小区域内的局部性质，在整 个定义域内，可以有很多个极小值和极大值，在某 点的极小值可能大于另一点的极大值，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小。 定义理解 （3）函数的极值点的分布是有规律的。相邻的两 个极大值点之间必有一个极小值点，相邻的两个极小 值点之间必有一个极大值点。 （2）函数的极值点的导数是0，但导数是0的点 可能不是极值点。仅当某点处导数为0 且其两侧导 数符号相反时，此点才是极值点。亦即：y = f (x) 在(a，b)内不是