第9章第8节n次独立重复试验与二项分布汇编.doc

2009~2013年高考真题备选题库 第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第8节 n次独立重复试验与二项分布 考点一 二项分布及其应用 1．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X. (1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m. 解：本题主要考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力． (1)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以与相互独立．由于P(A)＝P(B)＝＝，故P()＝P()＝1－，因此学生甲收到活动通知信息的概率P＝1－2＝. (2)当k＝n时，m只能取n，有P(X＝m)＝P(X＝n)＝1. 当kn时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为(C)2.当X＝m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k－m，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m－k.由乘法计数原理知： 事件{X＝m}所含基本事件数为 CCC＝CCC.此时 P(X＝m)＝＝. 当k≤mt时，P(X＝m)≤P(X＝m＋1)CC≤CC?(m－k＋1)2≤(n－m)(2k－m)m≤2k－. 假如k≤2k－t成立，则当(k＋1)2能被n＋2整除时， k≤2k－2k＋1－≤t.故P(X＝m)在m＝2k－和m＝2k＋1－处达最大值；当(k＋1)2不能被n＋2整除时， P(X＝m)在m＝2k－处达最大值．(注：[x]表示不超过x的最大整数) 下面证明k≤2k－t. 因为1≤kn，所以2k－－k＝≥＝≥0. 而2k－－n＝－0，故2k－n，显然2k－2k. 因此k≤2k－t. 2．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想． 法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响． 记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A， 则事件A的对立事件为“X＝5”， 因为P(X＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝， 即这两人的累计得分X≤3的概率为. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)． 由已知可得，X1～B，X2～B， 所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝， 从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝. 因为E(2X1)E(3X2)， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响． 记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A， 则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件， 因为P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝， 所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝， 即这两人的累计得分X≤3的概率为. (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下： X1 0 2 4 P 　 X2 0 3 6 P 所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝， E(X2)＝0×＋3×＋6×＝. 因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 3．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生． (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3