第三章微分中值定理与导数的应用汇编.doc

微分中值定理与导数的应用 微分中值定理 罗尔定理 定理：若上连续，在内可导，且，则使得.①定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。 ②罗尔定理中的点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数在点处取得最大值或最小值，则有。 ③定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于轴。 证 由上连续知在上必取得最大值与最小值. 若，则与中至少有一个不等于在区间端点的值.不妨设.由最值定理，，使.又 ， ， 故 . 若，则在上为常数，故内任一点都可成为ξ，使 . 罗尔定理的几何意义是：若满足定理的条件，则其图像在上对应的曲线弧上一定存在一点具有水平切线，如. 图 3-1 拉格朗日中值定理 定理2 若在闭区间上连续，在内可导，则至少存在一点使得. (3-1-1) 注：①拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广； 证 考虑辅助函数，其中 ， 显然满足定理1的条件，即在闭区间上连续，在内可导，且，则至少存在一点使得，而 . 故有 . 如图3-2所示，连结曲线弧两端的弦，其斜率为.因此，定理的几何意义是：满足定理条件的曲线弧上一定存在一点具有平行于弦的切线. 图3-2 显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形. 式(3-1-1)称为拉格朗日中值公式，显然，当时，式(3-1-1)也成立. 设函数在区间可导，和是内的两点，其中自变量的增量可正可负，于是在以及为端点的闭区间上应用拉格朗日中值定理，有 ， 其中为与之间的某点，记，则 (3-1-2) (3-1-2) 式称为有限增量公式. 推论1 若函数在区间上的导数恒为零，则在区间上为一常数. 证，且，则在闭区间上连续，在内可导，由定理2得 . 由于f′(ξ) = 0，故f(x2) = f(x1).由x1，x2的任意性可知，函数f(x)在区间I上为一常数. 我们知道“常数的导数为零”，推论1就是其逆命题.由推论1立即可得以下结论. 推论2 函数在区间可导，若对，则 f(x) = g(x)+C. 对任意成立，其中为常数. 例1 求证，. 证 令，则 . 由推论1得又 因，且. 故 . 例2 证明不等式 (其中). 证 设，在上利用拉格朗日中值定理，得 . 因为，所以 . 例3 设函数，说明方程在内有几个实根，并指出它们所属区间. 解 因为是三次多项式，所以方程在内最多有3个实根. 又由于，在区间上满足罗尔定理的条件.故，使即方程在内有3个实根，分别属于区间. 例4 若在上连续，在内可导，则，使得 . 证 原式即 . 令有. 显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，在上应用定理可得所证. 下面再考虑由参数方程给出的曲线段，其两端点分别为连结的弦的斜率为 (见图3-3)，而曲线上任何一点处的切线斜率为. 图3-3 若曲线上存在一点［对应参数］，在该点曲线的切线与弦平行，则可得 . 定理3 若上连续，且均在内可导，且，则使得 . 证 由和拉格朗日中值定理得 . 由此有，考虑辅助函数(待定).为使满足罗尔中值定理的条件，令，得 . 取的值如上，由罗尔定理知，使，即 ， 即 . 由此定理得证. 显而易见，若取则定理3成为定理2，因此定理3是定理1，2的推广，它是这三个中值定理中最一般的形式. 例5 设函数在上连续，在内可导且，证明，使 . 证 原式可写成 . 令，.它们在上满足柯西中值定理的条件，且有 . 应用柯西中值定理即得所证. 一、型不定式 定理1设满足： (1) ，； (2)在内可导，且 (3) 存在(或为)， 则 . 证 由于极限和在处有无定义没有关系，不妨设.这样，由条件(1)、(2)知及在连续.设，则在或上，柯西中值定理的条件得到满足，于是有 ， 其中在与之间.令(从而)，上式两端取极限，再由条件(3)就得到 ， 对于当时的型不定式，洛必达法则也成立. 推论1 满足 (1) ，； (2) 存在常数 当时可导，且； (3) 存在(或为)， 则 . 证 令，则时，从而 ， . 由定理1，得 . 显然，若仍为型不定式，且满足定理条件，则可继续使用洛必达法则而得