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计算题 市场均衡1.某种商品的需求曲线为QD=260-60P,供给曲线为QS=100+40P。其中，QD与QS分别表示需求量和供给量(万斤)，P表示价格(元/斤)。假定政府对于每单位产品征收0.5元税收。①求税收后的均衡产量Q与消费者支付的价格PD以及生产者获得的价格PS。②计算政府的税收收入与社会的福利净损失。 解：(1)在征税前，根据QD=QS，得均衡价格P=1.6, Q=164 ?令T=0.5,新的均衡价格为P＇,新的供给量为QS＇,新的需求量为QD＇.则有: ?QS＇=100+40( P＇-T)? QD＇=260-60 P＇ ?得新的均衡价格为P＇= 1.8新的均衡价格为Q＇=152 ?所以税收后的均衡产量为152万斤,消费者支付价格1.8元,生产者获得价格1.3元. ?(2)政府的税收收入=T×Q＇=76万元,社会福利损失=(1/2)×0.5×(164-152)=3万元. 2.设砂糖的市场需求函数为：P=12－0.3QD；砂糖的市场供给函数为P=0.5QS。（P为价格，单位为元；QD、QS分别为需求量和供给量，单位为万千克）。问：?（1）砂糖的均衡价格是多少？?（2）砂糖的均衡交易量是多少？? 3）若政府规定砂糖的最高价格为7元/万千克，砂糖的供求关系会是何种状况？?（4）如果政府对砂糖每万千克征税1元，征税后的均衡价格是多少？?解：（1）供求均衡时，即QD?=QsP=12－0.3QD，P=0.5QS? QD=（12－P）÷0.3，QS=?P÷0.5?那么（12－P）÷0.3=P÷0.5?解得P=7.5(元)? 2）QD?=Qs=(12－P)?÷0.3=15(万千克)? 3）需求量：QD?=(12－P)?÷0.3=16.7（万千克）? Qs=P÷0.5=14（万千克）?可见P=7时,QD?Qs? 设税后价格为P’征税后新的供给曲线就应为： Qs=(P’－1)?÷0.5?均衡条件为QD?=Qs? (12－P’)?÷0.3=(P’?－1)?÷0.5? P’=7.875?(元/万千克)7.875元。?U=xy, 他打算购买x和y两种商品，当其每月收入为120元，Px=2元，Py=3元时，试问： （1） 为获得最大效用，他应该如何选择x和y的组合？ （2） 假设x的价格提高44%，y的价格不变，他必须增加多少收入才能保持原有的效用水平？ ⑴ 因为MUx=y,MUy=x,由 MUx/MUy=y/x=Px/Py, PxX+PyY=120 则有 Y/x=2/3 2x=3y=120 解得 X=30 , y=20 （2） 由 MUx/MUy=y/x=Px/Py xy=600,解得 x=25, y=24 所以 M1=2.88=3y=144 M1-M=24 2.若消费者张某的收入为270元，他在商品X和Y的无差异曲线上的斜率为dY/dX=-20/Y的点上实现均衡。已知商品X和商品Y的价格分别为PX=2，PY=5，那么此时张某将消费X和Y各多少？ 消费者的均衡的均衡条件 -dY/dX=MRS=PX/PY 所以 -（-20/Y）=2/5 Y=50 根据收入I=XPX+YPY，可以得出270=X*2+50*5， X=10 3.某人每周花 360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:U=2X2Y,求在均衡状态下,他如何购买效用最大? 解:max:U=2X2Y S.T? 360=3X+2Y 构造拉格朗日函数得:W=2X2Y+λ(360-3X-2Y) dW/Dx=MUx-3λ=4xy-3λ=0 dW/Dy=MUy-2λ=2x2-2λ=0 求得:4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=60 4.所有收入用于购买x,y的一个消费者的效用函数为u=xy，收入为100，y的价格为10，当x的价格由2上升至8时，其补偿收入（为维持效用水平不变所需的最小收入）是多少？ 解：最初的预算约束式为 2x+10y=100 效用极大化条件MUx/Muy=Px/Py=2/10由此得y/x=1/5 x=25,y=5,u=125 价格变化后，为维持u=125效用水平，在所有组合(x,y)中所需收入为m=8x+10y=8x+10·125/x 最小化条件（在xy=125的约束条件下）dm/dx=8-1250x-2=0 解得x=12.5,y=10,m=200 5.设某消费者的效用函数为U（x,y）=2lnx+(1-α)lny；消费者的收入为M; x,y两商品的价格分别为PX，PY；求对于X、Y两商品的需求。 解: 构造拉格朗日函数L=2lnX+(1