《抽樣技术》二章.pptVIP

样本均值分布的正态近似 对有限总体的不放回抽样，哈杰克（Hajek）在1960年给出了样本均值 的分布趋于正态的充分条件。一般地，当n≥30时可认为 。 置信区间 现假定 ，给定置信度1?α，可得均值 和总值Y的置信区间： 当n 50时，tα/2(n?1)可由uα/2代替。 例2 为估计某中学300名新生的平均身高，从中抽取了10名进行测量，得数据（单位：厘米）为158, 149, 156, 153, 160, 151, 157, 145, 152, 159。试问是否求得出平均身高的置信区间？如何求？ 解 例3 下页表列出美国1940年197个城市的居民数，分别按下述抽样方案估计197个城市的居民总数，请算出估计量的标准差： (1)容量为50的简单随机样本； (2)含有5个最大的城市。并从其余192个城市中抽出容量为45的简单随机样本； (3)含有9个最大的城市，并从其余188个城市中抽出容量为41的简单随机样本。 组 距(千人) f 组 距(千人) f 组 距(千人) f 50~100 105 550~600 2 …… 100~150 36 600~650 1 1500~1550 1 150~200 13 650~700 2 …… 200~250 6 700~750 0 1600~1650 1 250~300 7 750~800 1 …… 300~350 8 800~850 1 1900~1950 1 350~400 4 850~900 2 …… 400~450 1 900~950 0 3350~3400 1 450~500 3 950~1000 0 …… 500~550 0 1000~1050 0 7450~7500 1 城市大小的频数分布 *例4 为了估计学校上月用于教学的开支，从学校的2389项开支中抽取185项，得一简单随机样本。经分析，185项中有160项与教学有关。用z表示这160项开支的数值（单位：千元），经计算 试求学校上月用于教学的总开支的点估计、标准误估计和0.95置信区间。 解 令 0.95置信区间： *例5 通常可以认为Y1是很小的，YN是很大的。1972年萨伦达尔（Sarndal）检验了下述 的估计量 其中c是一个常数。证明萨伦达尔的结果： (1) 是无偏的； (2) 。 证明 (1)令 (2)提示 §2.3 总体比例的估计 设总体容量为N，其中具有某一特征的单元数为A，总体比例为P=A/N。现从总体中抽取一个容量为n的简单随机样本，又设样本中具有某一特征的单元数为a，样本比例为p=a/n。 定理4 样本比例p=a/n是总体比例P=A/N的无偏估计。 证明 令 推论6 是A的无偏估计。 定理5 p的方差是 其中Q=1?P。 证明 令 于是 推论7 的方差是 定理6 p的方差V(p)的无偏估计是 其中q=1?p。 证明 令 推论8 的方差 的无偏估计是 当n很大，p和q都不太小时，由中心极限定理知，p近似服从正态分布。由此可以构造出P的1-α置信区间： 其中 是连续性的校正项；A=NP的1-α置信区间： 例6 从一份共有3042人的人名录中随机抽200人，发现38人的地址已变动，试对这份人名录中需要修改的地址总数作出点估计和95%的置信区间。 解 §2.4 样本容量的确定 精度与费用之间是一对矛盾。一般地，调查所要求的精度越高，调查所需的费用也就越大。 最简单的一种费用函数是：C=c0+cn ，这时，确定C?确定n。 本节讨论在精度给定的条件下如何来确定n。 估计总体均值时样本容量的确定 设V是一事先给定的值，若要求满足 （或 ），则所需的样本容量 当 很小时，可近似地表示为n≥n0（或n=n0）。 当用 来估计 时，估计的绝对误差是 ，而相对误差是 ，它们都是随机变量。 给定置信度1?α， 称d为绝对误差限，称r为相对误差限，且 。 当n足够大时， 。在确定n之前，先假定求出的n会足够大，使得 ，这时有 其中 称为