一兩角和与差的三角函数.pptVIP

一、两角和与差的三角函数 二、和差化积 sin(???)=sin?cos??cos?sin? sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 　　 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 　　 cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 　　 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 一、两角和与差的三角函数 二、二倍角公式 (升幂公式) (降次公式) sin(???)=sin?cos??cos?sin? cos2?=cos2?-sin2? =2cos2?-1 =1-2sin2? sin2?=2sin?cos? 三、合一变形 公式选择 1.从函数的名称考虑 切割化弦(有时也可考虑“弦化切” ), 异名化同名(使函数的名称尽量统一); 2.从角的特点考虑 异角化同角, 抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等); 3.从变换的需要考虑 达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目的; 4.尽量避开讨论 常用技巧与方法 1.变换常数项 将常数变换成三角函数; 2.变角 对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一; 3.升幂或降次 运用倍、半角公式进行升幂或降次变换, 从而改变三角函数式的结构; 4.运用代数变换中的常用方法 因式分解、配方、凑项、添项、换元等等. 三角函数式化简目标 1.项数尽可能少; 2.三角函数名称尽可能少; 3.角尽可能小和少; 4.次数尽可能低; 5.分母尽可能不含三角式; 6.尽可能不带根号; 7.能求出值的求出值. 典型例题 1.求 sin220o+cos250o+sin20ocos50o 的值. 思维精析 从幂入手, 用降幂公式. 思维精析 从形入手, 配成完全平方. 思维精析 从角入手, 化异角为同角. 解法3 原式=sin2(50o-30o)+cos250o+sin(50o-30o)cos50o =(sin50ocos30o-cos50osin30o)2+cos250o +(sin50ocos30o-cos50osin30o)cos50o 思维精析 从式入手, 构造对偶式. 解法4 设 x=sin220o+cos250o+sin20ocos50o, 思维精析 从三角形入手, 构造图形, 利用正余弦定理. 解法5 设 △ABC 外接圆半径为 1, A=20o, B=40o, y=cos220o+sin250o+cos20osin50o. 则 x+y=2+sin70o ①, x-y=-cos40o+cos100o-sin30o ②. 则 C=120o. 由正余弦定理知: 原式=sin220o+sin240o+sin20osin40o =sin220o+sin240o-2sin20osin40ocos120o =sin2120o 1.求 sin220o+cos250o+sin20ocos50o 的值. ∴sin2?=sin[(?+?)+(?-?)] =sin(?+?)cos(?-?)+cos(?+?)sin(?-?) ∴sin(?-?)0, cos(?+?)0, 3.已知sin?+cos?=2sin?, sin?cos?=sin2?, 求证: 2cos2?=cos2?. 4.已知 sin?=msin(2?+?), 其中 m?0, 2?+??k?(k?Z), 求证: 证: ∵sin?+cos?=2sin?, ∴(sin?+cos?)2=4sin2?. ∴1+2sin?cos?=2(1-cos2?). ∵sin?cos?=sin2?, ∴1+2sin2?=2(1-cos2?). ∴1+1-cos2?=2(1-cos2?). ∴2cos2?=cos2?. 证: ∵sin?=msin(2?+?), =tan(?+?). 另证: ∵sin?=msin(2?+?), ∴sin[(?+?)-?]=msin[(?+?)+?]. ∴sin(?+?)cos?-cos(?+?)sin? 整理得 (1-m)sin(?+?)cos?=(1+m)cos(?+?)sin?. =m[sin(?+?)cos?+cos(?+?)sin?]. 4.已知 sin?=msin(2?+?), 其中 m?0, 2?+??k?(k?Z), 求证: 解: 由已知 k2-3=tan?cot?=1, ∴ k2=4. ∴k=tan?+cot?0. ∴tan?+cot?=2. ∴tan?=1. ∴cos(3?+?)+si