三十五講.pptVIP

* * 第三十五讲 主讲：杨荣副教授 吉林大学远程教育 （2）第二换元积分法 前面我们得到了换元积分公式 定理5（第二换元积分法） 则 第一换元积分法是将上式左端的积分变为右端的积分，第二换元积分法是倒过来用这个公式，因为有时可通过适当选取 ，使左端的积分容易计算。 设函数 ，在区间 I 可微且存在反函数 ，如果 例36 求 解 被积函数中含有根式 ，令 x = t2 (t 0 )，则 dx＝dt2＝2tdt于是 例37 求 解 为了去掉根号，可作变换 x = asinu， 这时 因此 还需要把变量 u 变换成原变量 x ，这一步可采取如下办法实现。如图3.2由直角三角形可看出， 代入上式得 例38 求 解 令 a x a x u 图3.2 把 u 换为原变量 x 的办法如例13，由图3.3看出 于是 这里 C =C1－lna. x a x u 图3.3 例39 求 解 我们可以利用公式 sec2t－1= tan2t 来化去根式。 被积函数有两个连续区间(－∞,－a)和(a ,＋∞)，在(a ,＋∞)上，令 于是 其中C = C1－lna. 由 x = asect 得 因此 在(a ,＋∞)上，令 可以得到同样的结果。 例40 求 解 令 u = ex ，或 x = lnu ， ，于是 此题也可用“加减项法”。 得到的结果是一样的。 例41 求 由辅助三角形（如右图所示），有 解 令 x = atant ，则 dx=asec2tdt，于是 a x t 所以