不定積分的概念与质.PPTVIP

一、原函数与不定积分的概念 三、 不定积分的性质 四、 小结 * 返回 下页 上页 湖 南 信 息 科学职 业 学 院 liu yilong §4.1 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分公式 不定积分的性质 小结 思考题 第四章 不定积分 问题的提出 我们知道 反之， 不难知道 因此，本章所讲的内容就是导数的逆运算 例 定义： 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 关于原函数问题的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 1. 被积函数是原函数的导数, 被积表达式是 原函数的微分. 2. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所 或说其微分等于被积表达式的 所有原函数. 有原函数. 因此绝不能漏写积分常数C. 3. 求已知函数的原函数或不定积分的运算称 为积分运算, 它是微分运算的逆运算. 例1 求 解 解 例2 例3 求 解 例4 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 不定积分的几何意思： 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式 要判断一个不定积分公式是否正确,只要将右端的函数求导,看是否等于被积函数，右端是否有任意常数Ｃ． 三、基本积分公式 基本积分表 ? 是常数); 熟 记 例6 求积分 解 例5 求积分 解 根据积分公式（2） 例7 求积分 解 判断积分结果是否正确，只要对结果求导，看导数是否等于被积函数，相等时，结果是正确的，否则是错误的。 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 例8 求积分 解 例9 求积分 解 例10 求积分 解 例11 求积分 解 例12 求积分 解 例13 求积分 解 例14 求积分 解 例15 求积分 解 例16 求积分 解 例17 求积分 解 例18 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. 解 所求曲线方程为 解 例20 所以