2010全国初中数学竞赛题和答案.doc

PAGE  PAGE 8 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题1．若，则的值为（ ）． （A） （B） （C） （D） 解： 由题设得． 2．若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）． （A）a≤ （B）a≥4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4 解．C 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程 的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4． 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（ ）． （A） （B） （第3题） （C） （D） 解：D 如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得 （第3题） BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是 EF＝4＋． 过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得 AD＝． 4．在一列数……中，已知，且当k≥2时， （取整符号表示???超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B 由和可得 ，，，， ，，，， …… 因为2010=4×502+2，所以=2． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）． （第5题） （A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2） 解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）． 记，其中． 根据对称关系，依次可以求得： ，，，． 令，同样可以求得，点的坐标为（），即（）， 由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）． 二、填空题 6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ． 解：0 由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是 2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0． 7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ． 解：15 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得 ， ① ， ② ． ③ 由①②，得，所以，x=30． 故 （分）． （第8题 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ． （第8题） 解： 如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N． 由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以， 过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分． 于是，直线即为所求的直线． 设直线的函数表达式为，则 解得 ,故所求直线的函数表达式为． （第9题） 9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 ． 解： 见题图，设． 因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ． 又因为 FC＝DC＝AB，所以 即 ， 解得，或（舍去）． 又Rt△∽Rt△，所以， 即=． 10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为 ． 解： 因为为的倍数，所以的最小值