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第九章 压杆稳定 §9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式·压杆的长度因数 §9-4 欧拉公式的应用范围·临界应力总图 §9-5 实际压杆的稳定因数 §9-6 压杆的稳定计算·压杆的合理截面 §9-1 压杆稳定性的概念 实际的受压杆件 实际的受压杆件由于: 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 3. 材料性质并非绝对均匀， 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。 对于细长的压杆(大柔度压杆)，最终会因为弹性的侧向位移过大而丧失承载能力； 对于中等细长的压杆(中等柔度压杆)则当侧向位移增大到一定程度时会在弯－压组合变形下发生强度破坏(压溃)。 对于实际细长压杆的上述力学行为，如果把初弯曲和材质不均匀的影响都归入偶然偏心的影响，则可利用大柔度弹性直杆受偏心压力作用这一力学模型来研究。 图a为下端固定，上端自由的实际压杆的力学模型；为列出用来寻求F－d 关系所需挠曲线近似微分方程而计算横截面上的弯矩时,需把侧向位移考虑在内，即 M(x)=F(e+d-w)， 这样得到的挠曲线近似微分方程 EIz w=F(e+d -w) 和积分后得到的挠曲线方程便反映了大柔度杆偏心受压时侧向位移的影响。 (a) 按照这一思路求得的细长压杆在不同偏心距 e 时偏心压力F 与最大侧向位移d 的关系曲线如图b所示。 (b) 由图可见虽然偶然偏心的程度不同 (e3e2e1)，但该细长压杆丧失承载能力时偏心压力Fcr却相同。其它杆端约束情况下细长压杆的F－d 关系曲线其特点与图b相同。 抽象的细长中心受压直杆 由图b可知，当偶然偏心的偏心距e→0时，细长压杆的F-d 关系曲线就逼近折线OAB，而如果把细长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝对均匀的理想中心压杆，则它的F-d 关系曲线将是折线OAB。 由此引出了关于压杆失稳(buckling)这一抽象的概念：当细长中心压杆上的轴向压力F小于Fcr时，杆的直线状态的平衡是稳定的； 当F＝Fcr时杆既可在直线状态下保持平衡(d＝0)，也可以在微弯状态下保持平衡，也就是说F＝Fcr时理想中心压杆的直线平衡状态是不稳定的，压杆在轴向压力Fcr作用下会丧失原有的直线平衡状态，即发生失稳。 Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力(critical force)。 从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。 显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。 细长中心受压直杆失稳现象 压杆的截面形式及支端约束 压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的弯曲刚度应尽可能大； 图a为钢桁架桥上弦杆(压杆)的横截面， 图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。 §9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。 (a) 在图a所示微弯状态下，两端铰支压杆任意x截面的挠度(侧向位移)为w，该截面上的弯矩为M(x)=Fcrw（图b）。杆的挠曲线近似微分方程为 令k2=Fcr /EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成 该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为 此式中有未知量A和B以及隐含有Fcr的k，但现在能够利用的边界条件只有两个，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，显然这不可能求出全部三个未知量。这种不确定性是由F = Fcr时杆可在任意微弯状态下(d可为任意微小值)保持平衡这个抽象概念所决定的。事实上，对于所研究的问题来说只要能从(c)式求出与临界力相关的未知常数k就可以了。 将边界条件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根据(c)式并利用边界条件x=l，w=0得到 注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否则(c)式将成为w≡ 0而压杆不能保持微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0 满足此条件的kl为 由kl＝p有 从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式： 此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取kl＝p，以此代入式(c)得 注意到当x= l /2 时 w=d，故有 A=d。从而知，对应