二章導数与微分.pptVIP

第二章 导数与微分 本章主要内容 §2.1 导数 §2.2 函数的和、差、积、商的导数 §2.3 复合函数的求导法则 §2.4 隐函数的导数 §2.5 初等函数的导数 §2.6 高阶导数 §2.7 函数的微分 学习目标 理解导数的概念,了解导数在几何上、经济上的实际意义，会用导数的定义求一些简单函数的导数。会求曲线上一点处的斜率。 熟练掌握基本初等函数的求导公式； 熟练掌握导数的四则运算法则；熟练掌握复合函数的求导法则；了解高阶导数、隐函数概念并能计算。 理解函数微分的定义，会用微分的运算法则和一阶微分形式不变性求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。 §2．1 导数 1.导数的概念 变速直线运动物体的速度，是物理上属于运动学范畴的问题；平面曲线在一点的切线斜率，则是一个几何问题。尽管这两个问题有很大区别，但它们却与一个重要的数学概念——导数密切相关。 引入 例1、求变速直线运动的瞬时速度 例2 求曲线切线的斜率． 割线的斜率是 定义1设函数 2．导数的几何意义 3．函数的可导性与连续性的关系 §2.2 函数的和、差、积、商的导数 证明法则二 例1设 ，求 及 ． 例3 求 的导数解 解 例5 求函数 的导数． 例6 求函数 的导数． §2.3复合函数的求导法则 例1 求函数 的导数． 例3 求函数 的导数． 例5 求函数 的导数． ? 例7 求函数 例9 证明幂函数的导数公式： §2.4 隐函数的导数 能表达成 y = f (x) 这种形式的函数我们称之为显函数。 例1 求由方程 所确定的隐函数的导数 ． 例2 求方程 确定的隐函数y = f (x) 的导数 例4 求由方程 所确定的隐函数的导数 ． 将 =2， 代入上式,得  ． 例9 求函数 的导数． 例10 求函数 (-∞ ∞)的导数 §2.5初等函数的导数 2.函数的和、差、积、商的求导法则 例1 设 ，求 . 在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法： §2.６ 高阶导数 一般地，如果函数 的导函数 仍然可导， 则我们把 的导数叫作函数 的二阶导数. 例如 例2 例4 求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数． 例5 求 的 阶导数． 例6 求 的 阶导数． 例7 求 的阶 导数． 例8 求 ( 为任意常数)的 阶导数． 例9 已知物体作直线运动的方程是 ( 都是常数),求物体运动的加速度． §2.7 函数的微分 设函数 在点 处可导，即  1 . 微分的定义 例1 求函数 当 时的增量及微分 微分法 ： 2.微分的几何意义 3.微分公式与微分运算法则 Ⅲ．复合函数的微分法则 例2 设 ，求dy． 例3 求函数 的微分。 例5 求方程 确定的隐函数 的微分 及导数 例6 在下列等式左边括号中填人适当的函数，使等式成立． 4．微分在近似计算中的应用 例7 有一批半径为lcm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01 cm．估计一下每只球需要铜多少克?(铜的密度是8.9 ) 例8 求 的近似值． 当取 =0时 ，由 证明公式 例9 求 的近似值． 解 对方程两端求微分，得 应用微分的运算法则，得 解 (1)因为 ，所以 (2)因为 ，所以： 一般地，有 即 当