二線变换的简单质.pptVIP

例2 用C[a,b]表示区间[a,b]上所有连续复值函数组成的线性空间，规定 与实内积空间类似，酉空间V 中由于有了内积的 定义3 酉空间V中，两个非零?, ?的夹角?, ? 与实内积空间一样，我们可以证明在酉空间中， n 维酉空间V 中，向量组η1,η2,…,ηn是V 的一个 利用标准正交基，向量的坐标的分量可以用内积 n维酉空间V 中，向量组η1,η2,…,ηn是V 的一个 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §8 酉空间 第九章 欧几里得空间 * 二、 线性变换的简单性质 二、酉空间中的重要结论 一、酉空间定义 一、酉空间定义 欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的. 酉空间实际就是复数域上的欧氏空间. 定义 1 设 V 是复数域上的线性空间，在 V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 (? , ?), 它具有以下性质： 1) (? , ?) = (? , ?) ，这里 (? , ?) 是 (? , ?) 的 共轭复数； 2) (k? , ?) = k(? , ?) ; 3) (? + ? , ? ) = (? , ? ) + (? , ? ) ; 4) (? , ? ) 是非负实数，且 (? , ? ) =0 当且仅当 ? =0 . 这里 ? , ? , ? 是 V 中任意的向量，k 为任意复数， 这样的线性空间称为酉空间. 例1 在线性空间 Cn 中，对向量 ? = (a1 , a2 , … , an) , ? = (b1 , b2 , … , bn) , 定义内积为 (? , ?) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn . (1) 显然，内积 (1) 满足定义 15 中的条件. 这样 Cn 就 成为一个酉空间. 是C[a,b]上的一个内积，此时 C[a,b]成为一个酉空间. 容易验证， 二、酉空间中的重要结论 由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似, 有一套平行的理论，因此这儿只简单地列出重要的 结论，而不详细论证. 首先由内积的定义可得到 1) (? , k?) = k (? , ?) . 2) (? , ? + ? ) = (? , ? ) + (? , ? ) . 概念，从而就有长度、角度、正交、距离等度量概念. 定义2 非负实数 叫做向量 ? 的长度， 记为 |?| . 显然|0|=0，?≠0时， |?|0.容易证明： 定理1 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式仍然成立， 即对任意的向量 ? , ? 有 | (? , ?) | ? | ? | | ? |， 当且仅当 ? , ? 线性相关时，等号成立. 注意： 酉空间中的内积 (? , ?) 一般是复数， 故向量之间不易定义夹角，但我们仍引入 规定为 于是 （2） 从（7）式得出， 定义4 向量 ? , ? ，当 (? , ?) = 0 时称为正交或互 相垂直. 有三角形不等式和勾股定理.我们可以定义两个向 量?, ?的距离 与实内积空间一样，在酉空间V 中，有正交向 量组的概念，并且可以证明：正交向量组一定线性 无关.从而有正交基、标准正交基的概念，利用施 密特正交化和单位化，可把V 的一个基变成与它等 价的标准正交基. 标准正交基当且仅当 利用标准正交基η1,η2,…,ηn，容易计算向量的内 积. 设?, ?在η1,η2,…,ηn下的坐标分别是 ? =(x1,x2,…,xn)’, ? =(y1,y2,…,yn)’, 则 表达. 设? 在标准正交基η1,η2,…,ηn下的坐标是 (x1,x2,…,xn)’,则 两边用ηj作内积，得 因此 （3） （3）式称为? 的傅里叶（Fourier）展开，其中每 个系数（ ? ，ηj）称为? 的傅里叶（Fourier）系数. 标准正交基，向量组?1, ?2,…, ?n 满足 则?i在标准正交基η1,η2,…,ηn下的坐标是P的第 i列Xi , ，于是 ?1, ?2,…, ?n 是V 的一个标准正交基 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §8 酉空间 第九章 欧几里得空间