五章定積分.pptVIP

一 问题的提出（Introduction) 二 定积分的定义 （Definition of Definite Integral) 三 定积分存在的两个充分条件 四 定积分的几何意义 五 小结、思想方法 * 第五章 定积分 (Definite Integrals) 在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半 叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。 如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一 的功绩，那也就是正是在这里。 恩格斯 七 思考题与判断题 二 定积分的定义 一 问题的提出 四 定积分的几何意义 六 小结、思想方法 第一节 定积分的概念 (Concept of Definite Integrals) 三 定积分存在的两个充分条件 五 定积分的性质 a b x y o 1 面积问题（Area Problem) 我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题。 a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 解决问题的基本思路：变“曲”为“直” 曲边梯形如图所示， 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 例2 路程问题（Distance Problem) 把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． 对于匀速运动，我们有公式 路程=速度X时间 解决变速运动的路程的基本思路 （1）分割 （3）作和 （4）取极限 路程的精确值 (2) 取点 定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分和 积分下限 积分上限 注： 利用极限的“ ”的说法，将定积分的 定义精确表述如下： （5） 定理1 定理2 注意 这两个定理仅仅是充分条件，不是必要的。 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 a b x y o o y a b x 几何意义 x y o 例1 利用定义计算定积分 解 (1) 分割 （2）取点 （3）求和 （4）求极限 例2 x 1 y 面积值为圆的面积的 对定积分的补充规定: 注意 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 五 定积分的性质 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 性质2 注意：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 性质3 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 证 性质4 性质5 推论1 证 （1） 证 推论2 （2） 证 （此性质说明，由被积函数在积分区间上的最值，可用于估计积分值的大致范围） 性质6 * *