第1章函数的概念.doc

PAGE  PAGE 7 第1章 函数的概念 1.1 函数的概念 函数概念是高中数学的核心概念之一，运用函数的思想方法可以构造描述客观世界的重要数学模型.函数的基础知识在现实生活、科技、经济和许多学科中都有着广泛的应用. 1.1.1 函数的概念 1．函数的传统定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与,并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数. 注意：（1）常量与变量：常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这是针对某个变化过程而言.特别地，有时也可以把常量当作特殊的变量，例如对于（是任意实数），也称是的函数（常值函数）.这里认为是总取同一个值的变量. （2）函数与函数值：函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思.函数是对变量而言的，例如，是可以随的变化而变化的量，变???是的函数；函数值是变量所取的某个具体的数值，一个函数可能有许多不同的函数值，例如当时，函数的函数值等于2，当时，函数的函数值等于. 例1　已知函数的定义域为，在同一直角坐标系下，函数的图象与直线（ 为实数常数)的交点个数为 (　　) A．0个　 　B．1个　 　C．2个　 　D．0个或1个 解：∵的定义域为，当时，直线与函数的图象必有一个交点，当时，直线与函数的图象无交点. 根据函数的定义知，对于定义域中的任何一个元素，在其值域中有唯一确定的元素与之对应，故直线与函数的图象至多有一个交点．选D. 说明：本题是利用函数的定义解题.一般地，用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为“定 义法”．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征． 2．函数的现代定义：设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.记作： . 其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然，值域是集合的子集. 函数的近代定义与函数的传统定义本质上是一致的，只不过是两种定义的侧重点不同.传统定义侧重于“运动变化”，现代定义侧重于“集合对应”. 要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：（1）定义域和对应法则是否给出；（2）根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值. 理解函数概念须注意以下几点： （1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”，“”等； （2）函数符号“”中的表示与对应的函数值，是一个数，而不是乘以. （3）对于以为自变量的函数，的含义与的含义不同.表示自变量时所得的函数值，它是一个常数；是的函数，它通常是一个变量. 例2 下列对应关系: ①,； ②,； ③,； ④,. 其中是A到B的函数的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解:对于①，集合中的元素0在集合中没有对应元素,故不是到的函数； 对于②，集合A中的任意一个整数,按照对应关系,在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应,故是集合A到集合B的函数； 对于③，集合A中元素负数没有平方根,故在集合B中没有对应的元素,且不一定为整数,故此对应关系不是A到B的函数； 对于④，集合A中任意一个实数,按照对应关系,在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应,故是集合A到集合B的函数. 所以，选B. 3．函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等． 例3 试判断以下各组函数是否相等？ （1）； （2） （3）； （4）； （5）. 解：（1）由于，它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数； （2）由于函数的定义域为，而函数的定义域为，所以它们不是同一函数； （3）由于当n∈N*时，为奇数， ∴， 它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数； （4）由于函数的定义域为{x|x≥0}，而函数的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 方法提炼：由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数和的定义域相同，对应关系完全一致，我们就说这两个函数和表示同一函数 两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然. 4．映射的定义：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与它对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射. 象和原象：给定一个集合A到B的映射，且，如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素