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高一数学必修4 向量的概念及表示 一．教学目标： （一）知识目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. （二）能力目标：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. （三）情感目标：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 二．教学重点、难点； 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 三．教学方法与教学手段： 教学方法：启发式教学 教学手段：多媒体教学 四．教学过程， （一）情景设置 一质量m=60kg的物体放在光滑的水平面上，在与水平方向成α= °角斜向上的拉力F=10N的作用下向左运动了5m ，求拉力所做的功。 标量和矢量数量和向量再举出一些向量和数量 数量：距离、质量、身高、时间、密度、以及体检中的视力、 肺活量等 向量：位移、力、速度、加速度等 （二）新课学习 1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。 2向量的表示方法： （1）表示：长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 （2）用字母等表示； ①用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）； ②用小写字母表示：、、；（印刷用a，书写用） 注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。 ．向量的有关概念： （1）： 向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作||. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作. 思考：与0的含义与书写区别. 单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. 思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？ （2）： 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作//。 规定：与任一向量平行. 思考：若//，//，则//？ （3）： ①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作=。 ABCD中=. 向量只大小和方向，与起点无关 ②相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量，记作-。 规定：=。的相反向量仍是。 对于任一向量有-（-）=。与-互为相反向量 。 概念辨析：向量平行与直线平行 两条直线平行不包括重合的情况，而向量的平行包括两个向量在同一条直线上（同向或反向）的情形 这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。③共线向量：平行向量就是共线向量。 规定：与任一向量. （三）理解和巩固： 例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中： （1）试找出与共线的向量； （2）确定与相等的向量； （3）与相等吗？ 解：（1）与共线的向量有和； 引申：外，图中所给7点的连线中，与共线的向量有几个？ 9个 （2）与长度相等且方向相同，故=； 引申：外，图中所给7点的连线中，与相等的向量有几个？ 3个 （3）虽然//，且||=||，但它们方向相反，故这两个向量并不相等。 引申：外，图中所给7点的连线中，与互为相反向量的向量有几个？ 4个 例2 在图中的4×5方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？ 解：当向量的起点C是图中所圈的格点时， 可以作出与相等的向量。 这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等。与长度相等的共线向量（除外）共有7×2+1=15（个） 例3 对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？ （1）把平行于直线L的所有单位向量的起点平移到L上的点P； （2）把所有单位向量的起点平行移动到同一点P； （3）把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上的点P。 解:（1）是直线L上与点P的距离为1的两个点； （2）是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆； （3）直线L 课堂练习： ．写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为1）。 ．判断下列命题是否正确，若不正确，简述理由. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；模相等的两个平行向量是相等的向量； 若和都是单位向量，则=； 两个相等向量的模相等向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；任一向量与它的相反向量不相等；向量和不共线，则和都是非零向量解：①不正确向量相等不正确不正确共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上. 不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的假若和不都是非零向量，即和至少