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第4章 不定积分 内容概要名称 主要内容 不 设 f x ， x I ，若存在函数 F x ，使得对任意 x I 均有 F x f x 定 积 或 dF x f xdx ，则称 F x 为 f x 的一个原函数。 分 的 f x 的全部原函数称为 f x 在区间 I 上的不定积分，记为 概 念 f xdx F x C 注： 1）若 （ f x 连 续 ， 则 必 可 积 ； 2 ） 若 F x G x 均 为 f x 的 原 函 数 ， 则 （ F x G x C 。故不定积分的表达式不唯一。 性 d f xdx f x 或 d f xdx f xdx ； dx 性质 1： 质不 性质 2： F xdx F x C 或 dF x F x C ；定积 性质 3： f x g xdx f xdx g xdx ， 为非零常数。分 计 设 f u 的 原函数为 F u ， u x 可导，则有换元公式： 算 第一换元 方 积分法 法 （凑微分法） f x xdx f xd x F x C 第二类 设x t 单调、可导且导数不为零， f t t 有原函数 F t ， 换元积 分法 f xdx f t t dt F t C F 1 则 x C 分部积分法 u xv xdx u xdv x u xv x v xdu x 有理函数积 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理 分 按情况确定。本章 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地 后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求位与 解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用 起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好 坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解习题 4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ dx1 x 2 x 5 1思路: 被积函数 x 2 ，由积分表中的公式（2）可解。 x2 x 5 3 dx 2解： x 2 x x dx x 2 C 3 2 1 x 32 dx x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 1 1 1 1 4 1 1 3 3解： 3 x x dx x 3 x 2 dx x 3 dx x 2 dx 4 x 2x 2 C3 （2 x 2） x dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 2x 1 3解： （2 x ） 2 dx x dx x C x 2 x 2 dx ln 2 34 x x 3dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 3 1 5 3 2 2解： x x 3dx x 2 dx 3 x 2 dx 5 x 2x 2 C 3 x 4 3x 2 15 x 2 1 dx 3x 4 3x 2 1 1思路:观察到 3x2 2 后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 x 1 2 x 1分。 3 x 4 3x 2 1 1 x 2 1 dx 3x dx 1 x 2 dx x arctan x C 2 3解： x26 1 x 2 dx x2 x2 1 1 1思路:注意到 1 ，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 1 x 2 1 x 2 1 x2 x2 1解： 1 x 2 dx dx 1 x 2 dx x arctan x C.注：容易看出56两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 x 1 3 47 （ - - ） 2 x x3 x 4 dx思路:分项积分。 x 1 3 4 1 1解： （ - 3 - 4 ） xdx dx 3 x 3 dx 4 x 4 dx 2 x x x dx 2 x 1 2 3 2 4 3 x ln x x x C. 4 2 3 3 28 1 x 2 1 x2 dx思路:分项积分。 3 2 1 1解： 1 x 2 1 x2 dx 3 1 x 2 dx 2 1 x2 dx 3arctan x 2 arcsin x C.9 x x x dx 1 1 1 7思路: x x x ？看到 x x x x 2 4 8 x 8 ，直接积分。 7 15 8 8解： x x x dx x 8 dx 15 x C. 110 x 2 1 x 2 dx思路:裂项分项积分。 1 1 1 1 1 1解： x 2 1 x 2 dx 2 x 1 x 2 dx 2 dx