高中数学【配套Word版文档】6.1数列的概念和简单表示法.docVIP

§6.1　数列的概念与简单表示法 2014高考会这样考　1.以数列前几项为背景写数列的通项；2.考查由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项；3.考查已知数列的递推关系或前n项和Sn求通项an. 复习备考要这样做　1.在通项公式的求解中，要注意归纳、推理思想的应用，寻求数列的项的规律；2.通过Sn求an，要对n＝1和n≥2两种情况进行讨论；3.灵活掌握由递推关系求通项公式的基本方法． 1．数列的定义 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件按项数分类 有穷数列项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关系分类 递增数列an＋1____an其中n∈N* 递减数列 an＋1____an 常数列 an＋1＝an 按其他标准分类 有界数列存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．已知Sn，则an＝. [难点正本　疑点清源] 1．对数列概念的理解 (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关． (2)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an (n∈N*)． 1．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为__________． 答案　an＝2n－1 (n∈N*) 解析　∵1,3,7,15分别加上1，则为2,4,8,16， 易知an＝2n－1. 2．数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则{an}的通项公式an＝________. 答案　n(n－1) 解析　由已知，得an＋1－an＝2n， 故an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝0＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)． 3．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n (n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝__________；数列{nan}中数值最小的项是第________项． 答案　2n－11　3 解析　当n≥2时，Sn－Sn－1＝2n－11，n＝1时也符合，则an＝2n－11，∴nan＝2n2－11n＝22－，且n∈N*，故n＝3时，nan最小． 4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为________． 答案　15 解析　∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. ∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15. 5．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________. 答案　1 解析　∵Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1. 可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1. 即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1. 题型一　由数列的前几项求数列的通项 例1　写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，，…； (3)－1，，－，，－，，…； (4)3,33,333,3 333，…. 思维启迪：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系． 解　(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝. (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·. 也可写为an＝ (4)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以an＝(10n－1)． 探究提高　(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的