高中数学经典错因正解汇总：第4章数列.doc

 PAGE \* MERGEFORMAT 15 第四章 数列 §4.1等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝．我们把Ａ＝叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：若a1适合an(n2),则不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an. 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A＝，B＝a1－，则＝An2+Bn. 6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。 三、经典例题 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和. 错解：（1）an=3n+7; (2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和. 错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项. 正解：（1）an=3n－2; (2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和. [例2] 已知数列的前n项之和为① ② 求数列的通项公式。 错解： ① ② 错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1. 正解： ①当时， 当时， 经检验 时 也适合， ②当时， 当时， ∴ [例3] 已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。 错解：S30= S10·2d. d＝30， S40= S30+d =100. 错因：将等差数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列. 正解：由题意：得 代入得S40 ＝。 [例4]等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求； 错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27. 错因：误认为 正解： [例5]已知一个等差数列的通项公式an=25－5n，求数列的前n项和； 错解：由an0得n5 前5项为非负，从第6项起为负， Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5) 当n6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝ Sn= 错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和. 正解： [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 由此可以确定求其前项和的公式吗？ 解：理由如下：由题设： 得： ∴ [例7]已知： （） （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） ∴ （2） 当近于0时其和绝对值最小 令： 即 1024+ 得： ∵ ∴ [例8]项数是的等差数列