高中考试数学必胜秘诀09立体几何.doc

高考数学必胜秘诀（9） 立体几何 1、三个公理和三条推论： （1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。 （2）公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。 （3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3和三个推论是确定平面的依据。如（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件（答：充分非必要）；（2）给出命题：①若A∈l，A∈α，B∈l ，B∈α，则 l α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若lα　，A∈l，则Aα　④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，则α与β重合。上述命题中，真命题是_____（答：①②④）；（3）长方体中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在线段BD，A1C1上各有一点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=MQ，则M点的轨迹图形的面积为_______（答：24） 2、空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点。（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点。如（1）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系_____（答：相交）；（2）给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；③两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_____（答：①③） 3、异面直线的判定：反证法。 如（1）“ａ、ｂ为异面直线”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ面α，ｂ面β且a∩b＝Φ；③ａ面α，ｂ面β且α∩β＝Φ；④ａ面α，b面α　；⑤不存在平面α，能使ａ面α且ｂ面α成立。上述结论中，正确的是_____（答：①⑤）；（2）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a的大小关系是_____（答：MNa）；（3）若E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且EG=3，FH=4，则AC2+BD2= _____（答：50）；（4）如果ａ、ｂ是异面直线，P是不在ａ、ｂ上的任意一点，下列四个结论：①过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都相交；　②过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都垂直；③过点P一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行；　④过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都平行。其中正确的结论是_____（答：②）；（5）如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_____（答：24）；（6）已知平面求证：b、c是异面直线． 4、异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。如（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；（3）已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；（4）若异面直线所成的角为，且直线，则异面直线所成角的范围是____（答：）； 5、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。如（1）ABCD是矩形，沿对角线AC把ΔADC折起，使AD⊥BC，求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线；（2）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线有____条（答：1）； 6、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂