高考数列题对数学思想方法的考查—吴海涛.docVIP

例析2008年高考数列题对数学思想方法的考查 湖北省宜昌市一中 吴海涛 数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。2008年的高考已落下帷幕，现从各地高考的数列题中提炼出数学思想与方法（如函数方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）。在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。 函数与方程的思想 数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，也可以看成是方程或方程组。例如等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。 例1、（08海南宁夏卷）已知数列是一个等差数列，且，。 （1）求的通项；（2）求前n项和的最大值。 分析：（1）数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算。因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法。 （2）等差数列的前n项和公式可以看成关于n的二次函数，可利用二次函数的单调性来求解最值。 解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，． 所以． （Ⅱ）． 所以时，取到最大值． 例2、（08安徽）在数列中， ，，，其中为常数，则的值为 ． 分析：该数列的通项公式是关于n的一次函数，显然其是等差数列，故易得a，b的值；再利用求数列极限的方法来求解。 解： ∴ 则 例3、（08四川）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( ) 　（Ａ）　　　　　 （Ｂ）　 　（Ｃ）　　　　　 （Ｄ） 分析：因，而，所以可以将写成关于公比的函数，相当于求函数的值域。 解：，令其公比为，∴，再由打勾函数的值域易得的取值范围是，故选D。 例4、（08陕西）已知数列的首项，，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的，，； （Ⅲ）证明：． 分析：(1)已知递推公式求通项公式，利用其分式型的结构特征把其转化构造成新的等比数列即可求；（2）该式对任意的恒成立，则只需构造???数, 利用二次函数配方或者借助于求导来研究其函数的最大值即可；（3）要求证前n项和大于，肯定需要借助于第（2）问结论，而第（2）问结论中含有字母x, 可见第（3）问的式子是将 第（2）问结论累加后取某个特殊值所对应的结果。 解:（Ⅰ），，， 又，是以为首项，为公比的等比数列． ，． （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知， ，原不等式成立． 法二：设， 则 ，当时，；当时，， 当时，取得最大值 原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有 ． 取， 则． 原不等式成立． 评析：本题是2008年陕西高考的压轴题，该题共有三问，采用了渐进式，层层推进，环环相扣，涉及的考点主要有由递推求通项公式的方法，利用函数单调性求最值，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式等内容，是一道比较典型的数列、函数和不等式的综合性大题。 分类讨论思想 分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决。在数列问题中主要体现在针对各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段。例如已知求时一定要注意要在才成立；讨论含参数的等比数列各项是否为0；在运用等比数列求和公式时先要讨论公比是否为1等等。 例5、（08四川）设数列的前项和为，已知 （Ⅰ）证明：当时，是等比数列； （Ⅱ）求的通项公式。 分析：本题是已知与的关系求通项公式，肯定要借助于这一关系式，所以需要讨论脚码是否为正整数，另外第（1）问显然是第（2）问的一个特例，所以作答的时候也一定需要分开讨论。 解：由题意知，且 ， () 两式相减得 即 ① （Ⅰ）当时，由①知 于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。 （Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即 当时，由由①得 因此 得 例6、（08湖北）已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1=其中λ为实数，n为正整数. （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； 分析：要判断某数列不是等比数列，只需举出一个反例即可；但要说明某数列是等比数列，则必须说明所有各项均成等比，因此必须用定义来证明，即要证常数，值得注意的是要讨论含参数的各项是否为零。 解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即 矛盾. 所以｛an｝不是等比数列. (Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14) =(-1)n·（an