固体物理第2章答案.doc

第2章晶体的结合 习 题 有一晶体,平衡时体积为 ， 原子间相互作用势为.如果相距为 r的两原子互作用势为 证明 体积弹性模量为 K= 求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量. [解答]设晶体共含有 N个原子,则总能量为 U(r)=. 由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多,因此可忽略它们之间的基异,于是上式简化为 U= 设最近邻原子间的距离为R则有R 再令 AA得到 U= 平衡时R=R,则由已知条件U(R) = 得 由平衡条件 得 . 由(1),(2)两式可解得 利用体积弹性模量公式[参见《固体物理教程》(2.14)式] K=得K= = = 由于 因此 于是 K= 由《固体物理教程》(2.18)式可知,一对惰性气体分子的互作用能为 若令 ,则N 个惰性气体分子的互作用势能可表示为 . 由平衡条件 可得 R进一步得 代入K=并取 m=6，n=12，V得 K=. 对体心立方晶体有 A于是 一维原子链,正负离子间距为,试证:马德隆常数为1n2. [解答] 相距的两个离子间的互作用势能可表示成 设最近邻原子间的距离为R 则有 , 则总的离子间的互作用势能 U=. 基中 为离子晶格的马德隆常数,式中+;- 号分别对应于与参考离子相异和相同的离子.任选一正离子作为参考离子,在求和中对负离子到正号,对正离子取负号,考虑到对一维离子两边的离子是正负对称分布的,则有 利用正面的展开式 1n(1+) 并令 得=1n(1+1)=1n2.于是,一维离子链的马德常数为1n2 计算面心立方面简单格子的和 只计最近邻; 计算到次近邻; 计算到次近邻. [解答]图2.26示出了面心立方简单格子的一个晶胞.角顶O原子周围有8个这样的晶胞,标号为1的原子是原子O 的最近邻标号为2的原子是O 原子的最近邻,标号为3的原子是O 原子的次次近邻.由此得到,面心立方简单格子任一原子有12个最近邻,6个次近邻及24个次次近邻.以最近邻距离度量,其距离分别为: 由 图2.6 面心立方晶胞 得 只计最近邻时， . 计算到次近邻时 计算到次次近邻时 由以上可以看出,由于 中的幂指数较大,收敛得很快,而 中的幂指数较小,因此 收敛得较慢,通常所采用的面心立方简单格子的 和 的数值分别是14.45与12.13. 用埃夫琴方法计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数. [解答]马德隆常数的定义式为 ,式中+、-号分别对应于与参考离子相异和相同的离子,二维正方离子(正负两种)格子,实际是一个面心正方格子,图 2.7示出了一个埃夫琴晶胞.设参考离子O为正离子,位于边棱中点的离子为负离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/2).对参考离子库仑能的贡献为 图2.7二维正方离子晶格 顶角上的离子为正离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/4), 对参考离子库仑能的贡献为 因此通过一个埃夫琴晶胞算出的马德隆常数为 再选取个埃夫琴晶胞作为考虑对象,这时离子O 的最的邻,次近邻均在所考虑的范围内,它们对库仑能的贡献为 而边棱上的离子对库仑能的贡献为 顶角上的离子对为库仑能的贡献为 这时算出的马德隆常数为 图 2.8 4个埃夫琴晶胞 同理对个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为 对 个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为 当选取 n个埃夫琴晶胞来计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数,其计算公式(参见刘策军,二维NaC1 晶体马德隆常数计算,《大学物理》，Vo1.14,No.12,1995.)为 其中 用埃夫琴方法计算CsCl 型离子晶体的马德隆常数 只计最近邻 取八个晶胞 [解答] 图2.29是CsCl晶胸结构,即只计及最近邻的最小埃夫琴晶胞,图2.29是将Cs双在体心位置的结构,图2.9(a)是将 Cl取在体心位置的结构,容易求得在只计及最近邻情况下,马德隆常数为1. 图2.29 （a）Cs 取为体心的CsC1晶胞,(b) C1取为体心的CsC1晶胞 (2)图2.10是由8个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞,8个最近邻在埃夫琴晶胞内,每个离子对晶胞的贡献为1,它们与参考离子异号,所以这8个离子对马德隆常数的贡献为8 埃夫琴