数学中考热点题型五二次函数和几何图形综合题.doc

数与几何图形综合题 类型一 与特殊三角形形状有关 针对演练 1. 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题图C为（0,3），与x轴交于点A、B，顶点为D. （1）求抛物线的解析式； （2）求A、B、D的坐标，并确定四边形ABDC的面积； （3）点P是x轴上的动点，连接CP，若△CBP是等腰三角形，求点P的坐标. 2. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点M（-2,），顶点为N（-1, ），与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C. （1）求抛物线解析式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点Q是抛物线对称轴上一点，当△QBC是直角三角形时，求点Q的坐标. 3. 如图，抛物线y = -x2+mx+n与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1,0），C（0,2）. （1）求抛物线的解析式； （2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由. 4. 如图，已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C. （1）写出A、B两点的坐标； （2）二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),顶点为P. ①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； ②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由； ③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由. 答案 1. 解：（1）∵抛物线y =-x2+bx+c的对称轴为， 解得b=2，∵抛物线过点C（0,3），∴c=3， ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3； （2）由抛物线y=-x2+2x+3，令y =0得，-x2+2x+3=0， 解得x1=-1,x2=3，∴点A（-1,0），点B（3,0）， 当x=1时，y=-12+2+3=4,∴点D的坐标为（1,4）. 如解图，过D作DM⊥AB于M，则OM =1，DM =4， ∴S四边形ABDC =S△AOC+S四边形OMDC+S△BMD =AO·OC +（OC+MD）·OM +BM·DM =×1×3+×（3+4）×1+×4×2 =9. （3）设点P的坐标为（t,0），则PC 2=t 2+32，PB 2=(3-t)2， ∴BC 2=32+32=18， 若△PBC是等腰三角形， 则有①PC 2=PB 2，即t 2+9=(3-t)2，解得t =0，此时点P的坐标为（0,0）； ②PC 2=BC 2，则t 2+9=18，解得t =3（舍）或t =-3，此时点P的坐标为（-3,0）； ③PB 2=BC 2则(3-t)2=18，解得t =3+或t =3-， 此时点P的坐标为（3+,0）或（3-,0）. 2. 解：（1）由抛物线的顶点为N（-1, ），故设抛物线的顶点式为y=a(x+1)2+， 将点M（-2, ）代入解析式得， a×(-2+1)2+=3， 解得a =, ∴抛物线的解析式为y = - (x+1)2+. 即y=x2x +. （2）对于抛物线y=x2-x +，令y = 0, 得x2-x +=0， 解得x1=1,x2=-3， ∴点A（1,0），点B（-3,0）， 令抛物线x=0,得y=， ∴点C的坐标为（0, ）. ∴AB 2=42=16,AC 2=12+()2=4,BC 2=32+()2=12, ∴AB 2=AC 2+BC 2, ∴△ABC是直角三角形. (3)由抛物线顶点N（-1, ）知抛物线的对称轴为x =-1， 设点Q的坐标为（-1,t）， 则BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t-)2=t 2-t+4，BC 2=12. 要使△BQC是直角三角形， (ⅰ) 当∠BQC＝90°，则BQ 2+QC 2=BC 2, 即4+t 2+t 2-t+4=12， 解得t1=+,t2=-，此时点Q的坐标为（-1，+）或（-1，-）； （ⅱ）当∠QBC＝90°，则BQ 2+BC 2=QC 2， 即4+t 2+12=t 2-t+4，解得t=-，此时点Q的坐标为（-1，-）； （ⅲ）当∠BCQ = 90°时，则QC 2+BC 2=BQ 2， 即t 2-t+4+12=4+t 2，解得t =，此时点Q的坐标为（-1, ）. 综上，当△QBC是直角三角形时，点Q坐标为（-1，），（-1，±） 3. 解：（1）∵点A（-1,0），C（0,2）在抛物线上， ∴，解得 ∴抛物线解析式为y=-x2+x+2； （2）△ACD是等腰三角形. 理由：∵抛物线y=-x2