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20130604(热力学与统计物理第8章4第9章1).ppt

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20130604(热力学与统计物理第8章4第9章1)

如果系统的哈密顿函数处于E到E+ΔE范围内,即: E≤H(q, p)≤E+ΔE (9.1.4) 则Г空间中代表点的轨迹将被限制在式(9.1.4)确定的能量壳层内。 ⑥在一般物理问题中,H以及 , 均为单值函数,故根据式(9.1.2),经过相空间任何一点轨道只能有一条。系统从某一初态出发,代表点在相空间的轨道或者是一条封闭曲线,或者是一条自身永不相交的曲线。当系统从不同的初态出发,代表点沿相空间中不同的轨道运动时,不同的轨道也互不相交。 二、刘维尔定理 设想大量结构完全相同的系统,各自从其初态独立的沿着正则方程所规定的轨道运动,这些系统运动状态的代表点在相空间中形成一个分布。 表示相空间中的一个体积元。 以 表示在时刻t,运动状态在 内的代表点数, 称为代表点密度—也叫分布函数。 以 (9.1.4) 将式(9.1.4)对整个相空间积分,得: N是所设想的系统的总数,是不随时间改变的常量。 (9.1.5) 现在考虑代表点密度 随时间t的变化, 它遵守所谓的刘维尔定理: 此称为刘维尔定理,它是力学的结果,而非统计的结果。定理的表述如下: 如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动,其相邻的代表点密度是不随时间改变的常数,即: (9.1.6) 考虑相空间中一个固定的体积元: 这体积元是以下述2f对平面为边界构成的: 在时刻t,在dΩ内的代表点数为ρdΩ。 经时间dt后,在这固定体积元中的代表点数变为: 故:经dt时间后,在dΩ内代表点数的增加为: 证明: p q dt时间内从qi面流进: 从qi+dqi面流出: 一对面的增量 2f对面的增量 而dt时间内的增量应为: 三、几条基本假设 1、统计学原理: 宏观物理量是系统相应微观量的长时间平均值; 2、系综理论假设: 系统的长时间平均值等于系综的统计平均值: 3、等概率原理: 对于总能量一定的系统,一切微观态等概率。 §9.2 微正则系综 主要内容:讨论给定N、E、V条件下系统可能的微观状态数Ω(N,E,V)。 3.微正则系综的分布函数 2.统计系综 1.求统计平均值的一般公式 4.系统微观状态数的半经典表达式 一、求统计平均值的一般公式 统计物理学认为,物质的宏观性质是其微观粒子运动的平均性质,物质的宏观量是相应的微观量对系统各种可能微观状态的统计平均值。 现在来讨论如何用统计方法由微观量求得宏观量。在宏观条件给定的情况下,系统的微观状态是大量的。 因此,我们不可能确定系统在某一时刻一定处在或者一定不处在某个微观状态,而只能确定系统在某一时刻处在各个微观状态的概率。下面利用相空间来表示这个概率。 在经典理论中,系统可能的微观态在Г空间构成一个连续的区域。 1.经典理论 以dΩ= 表示Г空间中的一个体积元,在时刻t,系统微观运动状态的代表点出现在该体积元的概率为: (9.2.1) 上式中ρ(q,p,t)称为分布函数或概率密度,它是单位相体积内代表点出现的概率。ρ(q, p, t)满足归一化条件 (9.2.2) 上式表示系统运动状态代表点在Г空间各区域的概率总和为1。 (9.2.4) 设代表点处在相体积元dΩ范围时,微观量B的数值为B(q,p),它在所有可能的微观状态上的平均值为: (9.2.3) 在量子理论中,系统的微观状态称为量子态。在给定条件下,系统的可能微观状态是大量的。 式(9.2.3)是计算统计平均值的一般公式。其中 便是系统的与微观量B相应的宏观量。 2.量子理论 用指标s=1,2,…标志系统的各个可能微观态,用 表示在t时刻系统处在状态s的概率 。满足归一化条件: 以Bs表示微观量B在量子态s上的数值,则微观量B在一切可能的微观状态上的平均值为 : (9.2.5) 其中 就是与微观量Bs对应的宏观物理量。 由式(9.2.3)和(9.2.5)知,要计算系统微观量的统计平均值,首先必须确定分布函数ρ或概率 。显然,确定分布函数是统计物理的根本问题。下面,我们应用吉布斯的

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