2013届一轮复习课件立体几何6—空间空间向量及其运算.ppt

1．向量的分解是用空间向量证明有关问题的常用方法，分解的依据是向量的加法、减法及实数与向量的积，而与之相联系的是线段的倍(分)关系． 2．证明四点共面问题常转化为证明有公共顶点的四个向量满足共面向量定理，即 且x＋y＋z＝1?P、A、B、C共面．证明三点共线问题亦可转化为具有公共顶点的三个向量的“共面向量定理的形式”，即 且x＋y＝1?P、A、B共线． 3．空间向量数量积在判断或证明垂直，求夹角、长度等方面比几何方法有较明显的优势，必须掌握好． 4．空间直角坐标系的建立，使空间的点坐标化，也使几何问题代数化，利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题(证明、计算)就有一定的规律可循． 2. 空间向量的有关定理及推论 共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平行或重合 平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 定理 推论 运用 A, P, B三点 共线 判断三点共线,或两直线平行 P, A, B, C四点 共面 (A, B, C三点不共线) 判断四点共面,或直线平行于平面 三、空间向量的运算： 1.数量积的定义： 2.向量的夹角定义： 3.向量的垂直： 4.投影： 5.数量积的几何意义： 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积. 6.数量积的运算律： 7.数量积的主要性质: (判断两个向量是否垂直) (求向量的长度(模)的依据) (求两个向量的夹角) (向量不等式) 8.空间向量的直角坐标运算. 设 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), 则 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. M=(x,y,z),若M是线段AB的中点， 9. 平面向量与空间向量的坐标计算 平面向量 空间向量 题型一 空间向量的线性运算 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立． 题型二 空间向量共线、共面问题 例3 题型三 空间向量数量积 利用空间向量数量积，解决几何体中夹角长度是高考重点、难点，解决思路一，选取合适的一组基底，借助向量的代数式运算，二，选取两两垂直的三条线建立空间直角坐标系． 例4 【训练4】如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值． 本题可以通过计算边边关系证明SD⊥平面SAB，第2问也可作出AB与平面SBC所成的角，利用解三角形来计算，但这种方法必须加辅助线，且易找错角，故考虑用向量法，建立恰当的空间直角坐标系是解题关键． 主页 主页 一、空间直角坐标系的建立及相关概念： 以单位正方体ABCD—ABCD的顶点 O为原点,分别以射线OA，OC，OD 的 方向为正方向,以线段OA,OC, OD的长 为单位长度,建立三条数轴:x轴,y轴, z轴,这时我们建立了一个空间直角 坐标系O－xyz . A B C O z y x 点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面． 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，让食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称坐标系为右手直角坐标系。 x y z 空间直角坐标系的画法： 1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴． 2.y轴和z轴的单位长度相同， x轴上的单位长度为y轴 (或z轴)的单位长度的一半． y z x 1350 1350 Ⅱ Ⅶ 面 Ⅴ Ⅵ Ⅰ 面 面 Ⅲ Ⅳ Ⅷ ? O 空间直角坐标系共有八个卦限 1、空间直角坐标系的划分： 2、空间点的坐标： 设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示, (x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)． 其中x叫做点M的横坐标， y叫做点M的纵坐标， z叫做点M的竖坐标． y z x R Q P (1)坐标平面内的点: xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为0 (2)坐标轴上的点: x