2013竞赛辅导—多元函数微分学.ppt

例33. D 注： 通过变形（如取对数,去根号）,把复杂函数转化为简单函数是极值问题的常用技巧。 例34. 例35 例36 B 例37 解法1:保号性 解法2:排除法 解法3：特殊函数 D 练习（03数一） A 题型三 求最大最小值 题型二 求条件极值 练习 求函数 在条件 下的极值. 解法2: 化为无条件极值. 解法1: 拉格朗日乘数法,极小值 8, 0 练习 B 例38. A. 最大最小值点都在D的内部; B. 最大最小值点都在D的边界上; C. 最大值点在D的内部,最小值点在D的边界上; D. 最小值点在D的内部,最大值点在D的边界上; 例39 练习： 例40. 例41： 提示： 例42. （5, -5), (-5,5) 多元函数微分学 2012数学竞赛辅导 第七讲 一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论） 二、偏导数与全微分的计算 四、应用（极值、切线、切平面） 三、方向导数和梯度 一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论） 是以“任意方式” 1．重极限 题型一：求极限 常用方法： 1）四则运算法则及复合函数运算法则； 2）等价无穷小代换； 3）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量. 4）夹逼定理； 例1. 求 0 例4 .(江苏2000竞赛) A. 等于1； B.等于0； C.等于-1； D.不存在 D 例2. 求 0 例3. 求 =e 练习 求 =0 题型二：证明重极限不存在 常用方法： 沿不同路径极限不同（如：沿过点 的直线）； 2) 沿某一路径极限不存在. 例5 判断函数 在 点的连续性. 练习 证明重极限不存在 2. 连续 3.偏导数 例6 练习： 几何意义 例7. 则在下列 A. B. C. D. C 条件中能保证 4.全微分 1) 定义: 若 2) 判定:必要条件: 与 都存在; 充分条件: 和 在 连续; 是否为零? ii） 用定义判定可微性： 3) 计算： 5.连续、偏导存在和可微的关系 题型三 讨论连续性、可导性、可微性 例8. C D 例9 A. 极限存在但不连续 B. 连续但偏导数不存在 C. 偏导存在但不可微 D. 可微 例10 例11 练习 设 ,其中 在点 的邻域内连续,问 1) 应满足什么条件才能使 和 都存在? 2) 在上述条件下 在(0,0)点是否可微? （可微） 练习2 二 偏导数与全微分的计算 根据结构图， “分线相加，连线相乘” “分路偏导，单路全导” 对抽象或半抽象函数，注意 1. 复合函数求导 2.全微分形式不变性 3.隐函数求导法 方法: （b）两边求偏导 （c）利用微分形式不变性: (1) （a）公式: (2) 方法：两边求偏导；利用全微分形式不变性 例12 设 求 和 . 题型一 求一阶偏导数与全微分 设 ,且当 时, 则 例13. 例14 .(江苏06竞赛) 练习： 已知 是某一函数的全微分,则 取值分别为（ ） B 练习： 例15. D 题型二 复合函数的偏导数与高阶偏导数 练习. (07数一) 练习. 练习. 设 具有二阶连续偏导数,且满足 又 ,求 例16 例17. 注： 偏导数的坐标变换-----看作复合函数求偏导数或全导 2： 例18.(江苏08竞赛) 练习1： 3： 题型三 隐函数的偏导数与全微分 例19. A. 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 D 例20. 例21. 练习. 例22 (99数一). 题型四 已知偏导数，求函数. 例23 例24. 例25. 练习： 例26. 三、 方向导数和梯度 1.方向导数 1)定义: 可微,则 2)计算: 若 2.梯度 计算 A)不连续; B)偏导数存在; C)沿任一方向的方向导数不存在; D)沿任一方向的方向导数均存在; 在点(0,0)处 例27 函数 ( ) D D ( ) 例28 设 ,则 A) f(x,y)在(0,0)点连续; 为任一方向 的方向余弦. B) ,其中 C) 在 点沿 轴负方向的方向导数为 . D) 练习. 练习： 例29 练习： 四、 多元函数微分学的应用 1. 曲面的切平面与法线 2. 曲线的切线与法平面 , ,法向量: 2) 曲面 1) 曲面 2)曲线 ,切向量: ,法向量: 其中 1)曲线