微积分学(下)综合练习微积分学(下)综合练习.doc

软件学院2013级《高等数学》（下）综合练习 一、指出下列各题解题错误的原因，并给出正确的解法。 1、求在点(0,1)的偏导数。 错解：不存在 不存在 2、求，求。 错解：因为,所以应该用下面的表达式，即z=x+y , 依照多元偏导就是一元导数的知识，有 3、设z=f(x,y)且，求f(x,y)。 错解：由题设知 故和 又由于上式应恒等，所以 即x=-y，因此 4、设L为上点A到B的逆时针的一段弧，求曲线积分。 错解：令，则可以验证 故曲线积分与路径无关。从A到B的直线方程为 所以， 5、判断的敛散性。 错解：因为(n1时)，按p-级数的收敛结论可知，该级数收敛。 6、判断级数的敛散性 解：记，则 不存在 由于极限不存在，所以极级数发散。 7、求幂级数的收敛域 错解：因为 所以级数的收敛半径为+，故收敛域为（-，+） 二、解下列微分方程 1、 2、 （应用和角公式展开） 3、， 4、（令u=xy） 5、 （令x+y=u）， 6、（化为：） 7、（令） 8、 三、求解下列微分方程的应用问题 1、设f(x)在[1,+∞)上连续，若y=f(x)、x=1, x=t(1)所围图形绕x轴旋转的体积为 ，试求y=f(x)所应满足的微分方程，并求y(2)=2/9的解。 2、若某二阶常系数线性齐次方程的特征方程的一个根为，写出该方程并解方程 3、已知为某二阶常系数线性非齐次方程的三个解，求解该方程。 4、一质量为m的物体在粘性液体中由静止自由下落，若阻力与运动速度成反比（比例常数为k），求运动规律。 提示：因且 5、设y=y(x)满足，求 6、已知均为的解，求其通解。 7、y=x为的解，求通解。 四、求解下列偏导数（微分）问题 1、设，且f具有一阶连续偏导。证明： 2、设f(x,y)可微，且，求 3、设由方程所确定。求zx, zy . 4、设z=f(u)，而方程确定了u是x,y的函数，其中均可微，p(t)连续，且，求 5、求函数z=ln(x+y)在点(1,2)处沿着抛物线y2=4x在该点切线方向上的方向导数。 6、设f,g连续可导，且，求 7、设，其中f二阶连偏，求 8、设方程确定了隐函数z=g(x,y)。证明：曲面z=g(x,y)上任一点M(x,y,z)处的切平面在oz轴上的截距与切点到原点的距离之比为定值。 9、求在闭区域上的最值。 五、求解下列积分问题： 1、计算积分，其中 2、设函数f(x)在[0,1]上连续，且，求 3、求平面z=x-y,z=0与柱面x2+y2=ax所围成的体积(a0)。 4、一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xOy坐标为底，在xOy面上的投影为{(x,y)| x2+y2≥1}和{(x,y)| x2+y2≤2x}在第一象限的公共部分。求柱体的体积。 5、计算曲面积分，其中，S是球面x2+y2+z2=4在平面z=1上方的球冠。 6、设L为正向的圆周x2+y2=9，求曲线积分 7、求曲线的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0和x=2所围成的图形的面积最小。 8、求曲线与直线x=1,x=2,y=0所围图形分别绕x轴和y轴所成的体积。 9、求曲线自原点（0，0）到它右边第一条垂直切线的切点间的的孤长。（提示：分别求出原点和切点对应的参数t的值）。 10、（绝对值函数积分问题的处理）由及z=1所围的空间体中分布有密度为的质量，求总质量。 11、求，其中 12、（由积分限定积分区域）求 13、求，其中是两球和的公共部分 14、计算，其中D的左右边界分别为与（利用对称性和齐偶性） 解：D关于x轴对称，而被积函数关于y为奇函数，所以 15、设f(x)在区间[0,1]上连续，并设，求J= 解：记，则，于是 16、若，f(x,y)为D上的连续函数，求 17、计算（交换积分次序） 18、计算，其中L为球面与平面x+y+z=0之交线。 （利用对称性，在计算积分问题时，对称性、奇偶性是首先要考虑的！） 19、求，其中L为摆线 （纯定义法） 20、求，其中L为柱面与平面z=y的交线。 (挖掘参数方程） ( L的参数方程为x=Rcost,y=Rsint,z=Rsint () ) 21、计算，其中L是： （1）先沿直线从A(1,1)到B(1,2)，再沿直线到C(4,2) （2）抛物线x=y2上从A(1,1)到C(4,2) 22、计算，其中L是曲线从z轴正向看去的顺时针方向。（曲线的参数方程） (曲线L的参数方程为) 23、求，其中L为正向圆周曲线x2+y2=a2. (Green公式) 24、求，其中L为沿抛物线由点A(-1,0)到B(1,0)的弧。（凑Green公式，且注意避开暇点