2014·新课标高考总复习·数学7—6空间向量及其运算.ppt

2．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB，AD的夹角都是120°.求AC1的长． 【答题模板】　用向量方法证明立体几何中的有关命题 【典例】　(12分)(2012年高考陕西卷)(1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真； (2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)． 【名师点评】　本题考查三垂线逆定理的证明，同时以立体几何为背景考查了命题的有关知识，具有较好的创新性．在第(1)问的证明中，利用平面向量基本定理，运用向量方法使问题得以解决．使用向量方法能够用代数运算代替空间线面关系的逻辑推理，使证明和运算过程具有程序化. 1．(2012年高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　) A．0 B．1 C．5 D．10 答案：B 3．(2012年高考大纲全国卷)三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________． 本小节结束 请按ESC键返回 抓主干 双基知 能优化 菜 单 悟真题 透析解 题策略 研考向 要点知 识探究 隐 藏 提素能 高效题 组训练 2014 · 新课标高考总复习 · 数学（B · 理） 第六节　空间向量及其运算 一、空间向量的有关概念 1．空间向量：在空间中，具有 和 的量叫做向量． 2．相等向量： 且 的有向线段表示同一向量或相等向量． 3．零向量：在空间中，起点与终点 的向量叫做零向量． 4．单位向量：长度或模为 的向量叫做单位向量． 5．相反向量：长度 而方向 的向量叫做相反向量． 大小 方向 同向 等长 重合 1 相反 相等 6．向量的模：表示向量a的有向线段的长度，叫做向量的 ，记作|a|.有向线段的方向表示向量的方向，其所在直线叫做向量的 ． 7．共线向量：如果空间中一些向量的基线 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量． 规定：零向量与任意向量共线． 8．共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量． 9．基底与基向量 如果三个向量a，b，c是三个 的向量，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，这时 叫做空间的一个基底，记作 ，其中 都叫做基向量． 长度或模 基线 互相平行或重合 不共面 a，b，c {a，b，c} a，b，c 二、空间向量的加、减、数乘向量运算 1．向量的加、减运算法则是 法则和 法则，数乘运算：λa的大小为 . λa的方向：λ＞0时与a同向，λ＜0时与a反向，λ＝0时，λa＝0. 2．运算律 (1)加法交换律：a＋b＝b＋a； (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ a，λ(a＋b)＝λa＋λb. 三角形 平行四边形 |λ||a| 三、空间向量的基本定理 1．共线向量定理 两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb. 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb. 3．空间向量分解定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc. 如果 ，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. 2．异面直线及其夹角 的两条直线叫做异面直线．把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的 叫做两条异面直线所成的角．如果所成的角是 ，则称两条异面直线互相垂直． 非零 ∠AOB 不同在任何一个平面内 夹角(锐角或直角) 直角 3．空间两个