2014《创新设计》2轮专题复习常考问题16.ppt

[规律方法] 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题． 知识与方法 热点与突破 常考问题16　立体几何中的向量方法 　 　 　 [真题感悟] 　[考题分析] 1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则 (1)线面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.. (2)线面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥ν?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. (3)二面角 如图所示，二面角α－l－β，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面有α－l－β的大小为θ或π－θ. 3．用向量法证明平行、垂直问题的步骤 (1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面． (2)通过向量运算研究平行、垂直问题． (3)根据运算结果解释相关问题． 4．空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系 (1)求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦； (2)求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析. 热点与突破 热点一　向量法证明平行与垂直 【例1】 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， △ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C， BC的中点．求证： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF. [规律方法] 证明平行、垂直关系时，若用传统的几何法，难以找出问题与条件的关系时，可采用向量法，但向量法要求计算必须准确无误，利用向量法的关键是正确求平面的法向量． 【训练1】 如图，在直三棱柱ADE-BCF中， 面ABFE和面ABCD都是正方形且互相 垂直，M为AB的中点，O为DF的中点． 求证： (1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD. [规律方法] 异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值；二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等，其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定． 【训练2】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． (1)证明　如图，取AB的中点O，连接CO，A1O，A1B. 因为CA＝CB，所以CO⊥AB， 由于AA1＝AB，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形， 所以AB⊥A1O，因为OC∩OA1＝O， 所以AB⊥平面A1OC，故AB⊥A1C. (2)解　由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB. 又平面ABC⊥平面AA1B1B， 交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B， 故OA，OA1，OC两两相互垂直． 以O为原点，OA所在直线为x轴， OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴， 热点三　利用空间向量解决探索性问题 【例3】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由； (3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长． 知识与方法 热点与突破