2014创新设计(苏教版)第8章第5讲空间向量及其运算.ppt

抓住3个考点 突破3个考向 考点梳理 1．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定量 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得______. 第5讲　空间向量及其运算 b＝λa xa＋yb (3)空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________. xe1＋ye2＋ze3 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 2．空间向量的数量积及运算律 〈a，b〉 0≤〈a，b〉≤π 互相垂直 |a||b|cos〈a，b〉 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝______； ②交换律：a·b＝____； ③分配律：a·(b＋c)＝________. 3．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝_______________. λ(a·b) b·a a·b＋a·c a1b1＋a2b2＋a3b3 (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝____________， a⊥b?a·b＝0?__________________(a，b均为非零向量) (3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， λb3(λ∈R) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 　一个学法指导 利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题，在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题，在这里，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础． 【助学·微博】 三个考查角度 (1)判断空间向量共线与共面；运用空间向量的数量积的性质求角；证明线线(面)垂直；求线段的长； (2)将空间任一向量线性表示；求待定系数； (3)运用两点距离公式、夹角公式解决简单的平行、垂直、长度、角、距离等问题． 考点自测 解析　①中四点恰好围成一封闭图形，正确； ②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|； ③中a、b所在直线可能重合； ④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面． 答案　②③④ 答案　5 4．已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，这四个点________(填“共面”或“不共面”)． 答案　共面 5．(2010·广东卷)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________. 解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)． ∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. 答案　2  考向一　空间向量的线性运算 [方法总结] 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立． 【例2】 (2012·上饶调研)如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH； 考向二　共线、共面向量定理的应用 [方法总结] 在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a＝λb关系，即可判定两直线平行． 【训练2】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC边上的中点，试证A1B∥平面AC1D. 考向三　空间向量性质的应用 (4)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)， ∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)， ∵λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直， ∴(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0， 即当λ，μ满足关系λ－μ＝0时， 可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直． 【训练3】 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端